Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma cônica:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre cônicas, que são curvas como círculos, elipses, hipérboles e parábolas. Precisamos identificar que tipo de cônica é essa, transformar a equação para uma forma que a gente entenda melhor e, por fim, desenhar o gráfico dessa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. Na equação dada:
a gente percebe que temos um termo positivo e outro negativo. Isso geralmente indica que estamos lidando com uma hipérbole. As hipérboles têm duas “ramificações” e abrem-se de uma direção específica dependendo dos sinais na equação.
Passo 3
Vamos simplificar a equação para facilitar a identificação dos parâmetros da hipérbole. Primeiro, podemos reescrever a equação dividindo tudo por 4:
Isso ajuda a ver mais claramente os denominadores das frações, que nos dão informações sobre os eixos da hipérbole.
Passo 4
Agora, a gente compara com a forma padrão da equação de uma hipérbole que abre verticalmente:
Aqui,
é o centro da hipérbole,
é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo y, e
está relacionado à abertura da hipérbole.
Passo 5
Comparando com a nossa equação:
vemos que:
- Centro
= -
-
Passo 6
Com esses valores, podemos escrever a equação geral da hipérbole. Já tá praticamente na forma padrão, mas se quisermos expandir:
Multiplicando tudo por 27 para eliminar as frações:
Essa é a equação geral da hipérbole.
Passo 7
Agora, vamos esboçar o gráfico. Sabemos que o centro está em
. Como a hipérbole abre verticalmente, as duas “ramificações” vão para cima e para baixo a partir do centro.
-
Vértices: São a
unidades acima e abaixo do centro: -
-
Assíntotas: São as linhas que a hipérbole se aproxima. A fórmula das assíntotas para nossa hipérbole é:
Substituindo os valores:
Isso dá duas linhas inclinadas que passam pelo centro.
Passo 8
Com tudo isso, ao desenhar:
- Marque o centro em
. - Coloque os vértices em
e . - Desenhe as assíntotas com inclinação
passando pelo centro. - Esboce as duas ramificações da hipérbole abrindo verticalmente, aproximando-se das assíntotas.
Resposta
A equação geral da hipérbole é
e o gráfico é uma hipérbole com centro em
, vértices em
e
, abrindo verticalmente.