Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
4(y-1)^29-4(x-3)^227=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma cônica:
4(y-1)^29-4(x-3)^227=1
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre cônicas, que são curvas como círculos, elipses, hipérboles e parábolas. Precisamos identificar que tipo de cônica é essa, transformar a equação para uma forma que a gente entenda melhor e, por fim, desenhar o gráfico dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. Na equação dada:
4(y-1)^29 - 4(x-3)^227 = 1
a gente percebe que temos um termo positivo e outro negativo. Isso geralmente indica que estamos lidando com uma hipérbole. As hipérboles têm duas “ramificações” e abrem-se de uma direção específica dependendo dos sinais na equação.

Passo 3

Vamos simplificar a equação para facilitar a identificação dos parâmetros da hipérbole. Primeiro, podemos reescrever a equação dividindo tudo por 4:
(y-1)^29/4 - (x-3)^227/4 = 1
Isso ajuda a ver mais claramente os denominadores das frações, que nos dão informações sobre os eixos da hipérbole.

Passo 4

Agora, a gente compara com a forma padrão da equação de uma hipérbole que abre verticalmente:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Aqui, é o centro da hipérbole, é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo y, e está relacionado à abertura da hipérbole.

Passo 5

Comparando com a nossa equação:
(y-1)^2(3/2)^2 - (x-3)^2(3raiz3/2)^2 = 1
vemos que:
  • Centro =

Passo 6

Com esses valores, podemos escrever a equação geral da hipérbole. Já tá praticamente na forma padrão, mas se quisermos expandir:
4(y-1)^29 - 4(x-3)^227 = 1
Multiplicando tudo por 27 para eliminar as frações:
12(y-1)^2 - 4(x-3)^2 = 27
Essa é a equação geral da hipérbole.

Passo 7

Agora, vamos esboçar o gráfico. Sabemos que o centro está em y - k = pm ab(x - h) . Como a hipérbole abre verticalmente, as duas “ramificações” vão para cima e para baixo a partir do centro.
  • Vértices: São a y - 1 = pm 323raiz32(x - 3) Rightarrow y - 1 = pm 1raiz3(x - 3) unidades acima e abaixo do centro:
  • Assíntotas: São as linhas que a hipérbole se aproxima. A fórmula das assíntotas para nossa hipérbole é:
Substituindo os valores:
Isso dá duas linhas inclinadas que passam pelo centro.

Passo 8

Com tudo isso, ao desenhar:
  1. Marque o centro em .
  2. Coloque os vértices em e .
  3. Desenhe as assíntotas com inclinação passando pelo centro.
  4. Esboce as duas ramificações da hipérbole abrindo verticalmente, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

A equação geral da hipérbole é e o gráfico é uma hipérbole com centro em , vértices em e , abrindo verticalmente.

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