Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
(y+9)^2=-4(x+5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a equação geral e desenhar o gráfico da cônica dada pela equação . Essa questão está dentro do tópico de Cônicas, que engloba elipses, hipérboles e parábolas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar o tipo de cônica a partir da equação e como converter para a forma geral. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação dada é . Observamos que o termo está ao quadrado e está de um lado igualado a uma expressão linear em . Isso indica que estamos tratando de uma parábola.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a forma padrão da equação de uma parábola que abre para a esquerda ou para a direita é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Onde k = -9, h = -5, 4p = -4 é o vértice da parábola e é a distância do vértice até o foco. No nosso caso, comparando com a equação dada , podemos identificar:

Passo 4

Calculando o valor de 4p = -4 implies p = -1 :
O valor negativo de nos indica que a parábola abre para a esquerda, já que o coeficiente de é negativo.

Passo 5

Agora que identificamos o vértice (y + 9)^2 = -4(x + 5) e y^2 + 18y + 81 = -4x - 20 , podemos escrever a equação geral da parábola. Mas antes, vamos reorganizar a equação padrão:
Expandindo o lado esquerdo:

Passo 6

Vamos levar todos os termos para um lado da equação para obter a forma geral:
y^2 + 18y + 81 + 4x + 20 = 0
Simplificando:
y^2 + 18y + 4x + 101 = 0
Então, a equação geral da parábola é:
y^2 + 18y + 4x + 101 = 0

Passo 7

Para esboçar o gráfico, vamos usar as informações que temos:
  • Vértice:
  • Direção de abertura: Para a esquerda
  • Parâmetro : Isso nos diz que o foco está a 1 unidade à esquerda do vértice.
Então, o foco fica em .
O eixo de simetria da parábola é a linha horizontal que passa pelo vértice, ou seja, .

Resposta

A equação geral da cônica dada é:
y^2 + 18y + 4x + 101 = 0
E o gráfico é uma parábola com vértice em , que abre para a esquerda, tendo foco em e eixo de simetria na linha .

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