Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a equação geral e desenhar o gráfico da cônica dada pela equação
. Essa questão está dentro do tópico de Cônicas, que engloba elipses, hipérboles e parábolas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar o tipo de cônica a partir da equação e como converter para a forma geral. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação dada é
. Observamos que o termo
está ao quadrado e está de um lado igualado a uma expressão linear em
. Isso indica que estamos tratando de uma parábola.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a forma padrão da equação de uma parábola que abre para a esquerda ou para a direita é:
Onde
é o vértice da parábola e
é a distância do vértice até o foco. No nosso caso, comparando com a equação dada
, podemos identificar:
Passo 4
Calculando o valor de
:
O valor negativo de
nos indica que a parábola abre para a esquerda, já que o coeficiente de
é negativo.
Passo 5
Agora que identificamos o vértice
e
, podemos escrever a equação geral da parábola. Mas antes, vamos reorganizar a equação padrão:
Expandindo o lado esquerdo:
Passo 6
Vamos levar todos os termos para um lado da equação para obter a forma geral:
Simplificando:
Então, a equação geral da parábola é:
Passo 7
Para esboçar o gráfico, vamos usar as informações que temos:
- Vértice:
- Direção de abertura: Para a esquerda
- Parâmetro
: Isso nos diz que o foco está a 1 unidade à esquerda do vértice.
Então, o foco fica em
.
O eixo de simetria da parábola é a linha horizontal que passa pelo vértice, ou seja,
.
Resposta
A equação geral da cônica dada é:
E o gráfico é uma parábola com vértice em
, que abre para a esquerda, tendo foco em
e eixo de simetria na linha
.