Calcule a área entre o gráfico da função f(x)=x-1 e o intervalo [0, 2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área entre o gráfico da função f(x)=x-1 e o eixo x no intervalo [0,2]. Para resolver, vamos usar o conceito de área sob a curva pela integração e lembrar de aplicar valor absoluto quando a função ficar abaixo do eixo.

Passo 2

Precisamos verificar onde f(x) muda de sinal em [0,2]. Resolvendo x-1=0 encontramos x=1, logo f(x)<0 em [0,1) e f(x)>0 em (1,2].

Passo 3

A área total é a soma da área em [0,1] (onde a função é negativa) e em [1,2] (onde é positiva). Assim,
Área = integral0^1 |x-1|,dx + integral1^2 |x-1|,dx = -integral0^1(x-1),dx + integral1^2(x-1),dxÁ

Passo 4

Para calcular as integrais, primeiro achamos a antiderivada de x-1:
integral (x-1),dx = x^22 - x + C

Passo 5

Na parte [0,1],
integral0^1(x-1),dx = l(x^22-xr)|0^1 = l(12-1r) - (0-0) = -12
Como a função é negativa, a área é o valor absoluto: 12.

Passo 6

Na parte [1,2],
integral1^2(x-1),dx = l(x^22-xr)|1^2 = (2-2) - l(12-1r) = 12

Passo 7

Somando as duas áreas parciais, obtemos 12 + 12 = 1.

Resposta

1

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