Achar o comprimento do arco da curva
alpha(t)=(a(t-sen t), a(1-cos t), 4 a cos (t / 2)), a>0
compreendido entre dois pontos de interseção consecutivos de alpha com o plano xz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva definida por alpha(t) = (a(t - sin t), a(1 - cos t), 4a cos(t/2)), onde a > 0. O problema pede para calcular esse comprimento entre dois pontos consecutivos onde a curva intersecta o plano xz. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de arco de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quando a curva alpha(t) intersecta o plano xz. O plano xz é definido onde a coordenada y = 0. Então, precisamos encontrar os valores de t que fazem a(1 - cos t) = 0.

Passo 3

Resolvendo a(1 - cos t) = 0:
1 - cos t = 0 implies cos t = 1
Sabemos que cos t = 1 quando t é múltiplo de 2pi, ou seja, t = 0, 2pi, 4pi, dots. Portanto, os pontos de interseção consecutivos ocorrem quando t varia de 0 para 2pi.

Passo 4

Agora, vamos calcular o comprimento do arco entre t = 0 e t = 2pi. A fórmula para o comprimento do arco de uma curva paramétrica alpha(t) = (x(t), y(t), z(t)) é:
S = integrala^b |alpha'(t)| , dt
Onde alpha'(t) é o vetor derivada da curva.

Passo 5

Vamos encontrar as derivadas das componentes de alpha(t):
x(t) = a(t - sin t) implies x'(t) = a(1 - cos t)
y(t) = a(1 - cos t) implies y'(t) = a sin t
z(t) = 4a cos(t2) implies z'(t) = -2a sin(t2)

Passo 6

Agora, calculamos a norma do vetor derivada |alpha'(t)|:
|alpha'(t)| = raiz[a(1 - cos t)]^2 + [a sin t]^2 + [-2a sin(t/2)]^2
Simplificando dentro da raiz:
= raiza^2(1 - cos t)^2 + a^2 sin^2 t + 4a^2 sin^2(t/2)
= a raiz(1 - cos t)^2 + sin^2 t + 4 sin^2(t/2)

Passo 7

Utilizando identidades trigonométricas:
1 - cos t = 2 sin^2(t2)
sin t = 2 sin(t2) cos(t2)
Substituindo na expressão:
(1 - cos t)^2 = 4 sin^4(t2)
sin^2 t = 4 sin^2(t2) cos^2(t2)
Então:
|alpha'(t)| = a raiz4 sin^4(t2) + 4 sin^2(t2) cos^2(t2) + 4 sin^2(t2)
= a raiz4 sin^2(t2) [ sin^2(t2) + cos^2(t2) + 1 ]
= a raiz4 sin^2(t2) (1 + 1)
= a raiz8 sin^2(t2) = a cdot 2raiz2 sin(t2)

Passo 8

Agora, podemos integrar para encontrar o comprimento do arco:
S = integral0^2pi 2araiz2 sin(t2) , dt
= 2araiz2 integral0^2pi sin(t2) , dt

Passo 9

Integrando sin(t2):
integral sin(t2) , dt = -2 cos(t2) + C
Aplicando os limites de integração:
S = 2araiz2 [ -2 cos(2pi2) + 2 cos(02) ]
= 2araiz2 [ -2 cos(pi) + 2 cos(0) ]
= 2araiz2 [ -2(-1) + 2(1) ]
= 2araiz2 (2 + 2) = 2araiz2 cdot 4 = 8araiz2

Resposta

O comprimento do arco da curva entre dois pontos consecutivos de interseção com o plano xz é 8araiz2.

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