Achar o comprimento do arco da curva
compreendido entre dois pontos de interseção consecutivos de
com o plano xz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva definida por
, onde
. O problema pede para calcular esse comprimento entre dois pontos consecutivos onde a curva intersecta o plano
. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de arco de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quando a curva
intersecta o plano
. O plano
é definido onde a coordenada
. Então, precisamos encontrar os valores de
que fazem
.
Passo 3
Resolvendo
:
Sabemos que
quando
é múltiplo de
, ou seja,
. Portanto, os pontos de interseção consecutivos ocorrem quando
varia de
para
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o comprimento do arco entre
e
. A fórmula para o comprimento do arco de uma curva paramétrica
é:
Onde
é o vetor derivada da curva.
Passo 5
Vamos encontrar as derivadas das componentes de
:
Passo 6
Agora, calculamos a norma do vetor derivada
:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 7
Utilizando identidades trigonométricas:
Substituindo na expressão:
Então:
Passo 8
Agora, podemos integrar para encontrar o comprimento do arco:
Passo 9
Integrando
:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O comprimento do arco da curva entre dois pontos consecutivos de interseção com o plano
é
.