Determine o valor dos seguintes limites, quando existirem.
lim (x, y, z) longrightarrow(0,0,0) 4 x-y-3 z2 x-5 y+2 z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o valor de um limite quando (x, y, z) se aproxima de (0,0,0). A função que estamos analisando é:
lim (x, y, z) longrightarrow(0,0,0) 4x - y - 3z2x - 5y + 2z
Aqui, estamos lidando com limites em várias variáveis, especificamente em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam em múltiplas variáveis e verificar se o valor do limite é o mesmo independentemente do caminho que usamos para chegar ao ponto (0,0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que está no limite:
4x - y - 3z2x - 5y + 2z
Perceba que tanto o numerador quanto o denominador são funções lineares, ou seja, de primeiro grau. Isso significa que a relação entre eles pode depender muito da direção pela qual nos aproximamos de (0,0,0).

Passo 3

Para ver se o limite existe, uma estratégia é verificar se o resultado do limite é o mesmo quando nos aproximamos de (0,0,0) por diferentes caminhos. Se obtivermos valores diferentes, isso indica que o limite não existe.
Vamos testar alguns caminhos simples.

Passo 4

Primeiro caminho: y = 0 e z = 0.
Substituindo na função:
4x - 0 - 02x - 0 + 0 = 4x2x = 2
Ao longo desse caminho, o limite é 2.

Passo 5

Segundo caminho: x = 0 e z = 0.
Substituindo na função:
0 - y - 00 - 5y + 0 = -y-5y = 15
Aqui, o limite é 15.

Passo 6

Terceiro caminho: x = 0, y = 0.
Substituindo na função:
0 - 0 - 3z0 - 0 + 2z = -3z2z = -32
Neste caso, o limite é -32.

Passo 7

Vimos que dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de (0,0,0), obtemos valores diferentes para o limite: 2, 15 e -32. Isso significa que o limite não está consistentemente definido para todos os caminhos.

Resposta

O limite não existe.

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