Determine o valor dos seguintes limites, quando existirem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o valor de um limite quando
se aproxima de
. A função que estamos analisando é:
Aqui, estamos lidando com limites em várias variáveis, especificamente em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam em múltiplas variáveis e verificar se o valor do limite é o mesmo independentemente do caminho que usamos para chegar ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que está no limite:
Perceba que tanto o numerador quanto o denominador são funções lineares, ou seja, de primeiro grau. Isso significa que a relação entre eles pode depender muito da direção pela qual nos aproximamos de
.
Passo 3
Para ver se o limite existe, uma estratégia é verificar se o resultado do limite é o mesmo quando nos aproximamos de
por diferentes caminhos. Se obtivermos valores diferentes, isso indica que o limite não existe.
Vamos testar alguns caminhos simples.
Passo 4
Primeiro caminho:
e
.
Substituindo na função:
Ao longo desse caminho, o limite é 2.
Passo 5
Segundo caminho:
e
.
Substituindo na função:
Aqui, o limite é
.
Passo 6
Terceiro caminho:
,
.
Substituindo na função:
Neste caso, o limite é
.
Passo 7
Vimos que dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de
, obtemos valores diferentes para o limite: 2,
e
. Isso significa que o limite não está consistentemente definido para todos os caminhos.
Resposta
O limite não existe.