Calcule a soma da série identificando a função para a qual a série converge, e o respectivo intervalo de convergência:
sumn=2^infty n(n-1) x^n

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a soma da série sumn=2^infty n(n-1) x^n. Vamos trabalhar com séries de potências e identificar para qual função essa série converge, além de determinar o intervalo de convergência. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de série geométrica e derivadas de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a série geométrica básica:
sumn=0^infty x^n = 11 - x para |x| < 1
Essa fórmula será a base para manipularmos e encontrarmos a soma da nossa série.

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da série geométrica em relação a x. A derivada nos ajuda a trazer o termo n para a frente, facilitando a manipulação da série:
ddx( sumn=0^infty x^n ) = ddx( 11 - x )
Isso resulta em:
sumn=1^infty n x^n-1 = 1(1 - x)^2

Passo 4

Para facilitar os cálculos, vamos multiplicar ambos os lados por x:
x cdot sumn=1^infty n x^n-1 = x cdot 1(1 - x)^2
Simplificando, temos:
sumn=1^infty n x^n = x(1 - x)^2

Passo 5

Vamos derivar novamente ambos os lados dessa nova série para trazer o termo n^2:
ddx( sumn=1^infty n x^n ) = ddx( x(1 - x)^2 )
Isso nos dá:
sumn=1^infty n^2 x^n-1 = 1 + x(1 - x)^3

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por x novamente:
x cdot sumn=1^infty n^2 x^n-1 = x cdot 1 + x(1 - x)^3
Simplificando:
sumn=1^infty n^2 x^n = x(1 + x)(1 - x)^3

Passo 7

Agora, vamos retornar à nossa série original:
sumn=2^infty n(n-1) x^n
Observamos que n(n-1) = n^2 - n. Então podemos reescrever a série como:
sumn=2^infty n(n-1) x^n = sumn=2^infty n^2x^n - sumn=2^infty n x^n

Passo 8

Já temos expressões para sumn=1^infty n^2x^n e sumn=1^infty n x^n. Precisamos ajustar para que as somas comecem em n=2:
sumn=2^infty n^2x^n = sumn=1^infty n^2x^n - 1^2x^1
sumn=2^infty n x^n = sumn=1^infty n x^n - 1 cdot x^1
Substituindo as expressões que já encontramos:
sumn=2^infty n^2x^n = x(1 + x)(1 - x)^3 - x
sumn=2^infty n x^n = x(1 - x)^2 - x

Passo 9

Substituindo essas expressões na nossa série original:
sumn=2^infty n(n-1) x^n = ( x(1 + x)(1 - x)^3 - x ) - ( x(1 - x)^2 - x )

Passo 10

Vamos simplificar a expressão:
sumn=2^infty n(n-1) x^n = x(1 + x)(1 - x)^3 - x(1 - x)^2

Passo 11

Factorando x no numerador:
sumn=2^infty n(n-1) x^n = x(1 + x) - x(1 - x)(1 - x)^3
Simplificando o numerador:
x(1 + x) - x(1 - x) = x + x^2 - x + x^2 = 2x^2
Portanto:
sumn=2^infty n(n-1) x^n = 2x^2(1 - x)^3

Passo 12

Finalmente, para determinar o intervalo de convergência, lembramos que a série geométrica original converge para |x| < 1. Como nossas manipulações foram baseadas nela (usando derivadas e multiplicações por x), o intervalo de convergência permanece o mesmo:
|x| < 1

Resposta

A soma da série é 2x^2(1 - x)^3 e o intervalo de convergência é |x| < 1.

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