Calcule a soma da série identificando a função para a qual a série converge, e o respectivo intervalo de convergência:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a soma da série
. Vamos trabalhar com séries de potências e identificar para qual função essa série converge, além de determinar o intervalo de convergência. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de série geométrica e derivadas de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a série geométrica básica:
Essa fórmula será a base para manipularmos e encontrarmos a soma da nossa série.
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da série geométrica em relação a
. A derivada nos ajuda a trazer o termo
para a frente, facilitando a manipulação da série:
Isso resulta em:
Passo 4
Para facilitar os cálculos, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos derivar novamente ambos os lados dessa nova série para trazer o termo
:
Isso nos dá:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
novamente:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos retornar à nossa série original:
Observamos que
. Então podemos reescrever a série como:
Passo 8
Já temos expressões para
e
. Precisamos ajustar para que as somas comecem em
:
Substituindo as expressões que já encontramos:
Passo 9
Substituindo essas expressões na nossa série original:
Passo 10
Vamos simplificar a expressão:
Passo 11
Factorando
no numerador:
Simplificando o numerador:
Portanto:
Passo 12
Finalmente, para determinar o intervalo de convergência, lembramos que a série geométrica original converge para
. Como nossas manipulações foram baseadas nela (usando derivadas e multiplicações por
), o intervalo de convergência permanece o mesmo:
Resposta
A soma da série é
e o intervalo de convergência é
.