Determine o comprimento de arco da curva
sabendo-se que
do ponto onde
até o ponto onde
. Sabe-se ainda que
é um ponto do gráfico de uma função diferenciável
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco de uma curva α(t)=(x(t),y(t)) que está no gráfico de y=f(x) para x de 2 até 4, sabendo que 24·x(t)·y(t)=x(t)^4+48. O conteúdo é cálculo de comprimento de curva e vamos usar a fórmula
.
Passo 2
Da relação implícita
isolamos
em função de
:
Passo 3
Calculamos a derivada
. Para
vem:
Passo 4
Montamos o integral do comprimento de arco:
Passo 5
Simplificamos o integrando:
Calculamos
Calculamos
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Passo 6
Integramos e avaliamos de 2 a 4: