Determine o comprimento de arco da curva alpha(t)=(x(t), y(t)) sabendo-se que
24 x(t) cdot y(t)=[x(t)]^4+48 para todo t
do ponto onde x=2 até o ponto onde x=4. Sabe-se ainda que alpha(t) é um ponto do gráfico de uma função diferenciável f:[2,4] R.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco de uma curva α(t)=(x(t),y(t)) que está no gráfico de y=f(x) para x de 2 até 4, sabendo que 24·x(t)·y(t)=x(t)^4+48. O conteúdo é cálculo de comprimento de curva e vamos usar a fórmula L=integrala^braiz1+(y'(x))^2,dx.

Passo 2

Da relação implícita 24x,y=x^4+48 isolamos y em função de x:
y=x^4+4824x=x^324+2x

Passo 3

Calculamos a derivada y'=dydx. Para y=tfracx^324+2x^-1 vem:
y'=x^28-2x^2=x^4-168x^2

Passo 4

Montamos o integral do comprimento de arco:
L=integral2^4raiz1+(y')^2,dx

Passo 5

Simplificamos o integrando:
Calculamos
1+(y')^2=1+(x^4-16)^264x^4=x^8+32x^4+25664x^4=(x^4+16)^264x^4,
logo
raiz1+(y')^2=x^4+168x^2=18(x^2+16x^-2)

Passo 6

Integramos e avaliamos de 2 a 4:
L=18integral2^4l(x^2+16x^-2r)dx =18l(x^33-16xr)|2^4 =18cdot683=176

Resposta

L=176.

Exercícios relacionados