Questão 11. Calcule a área da região delimitada por:
y=x+2, \quad y=5, \quad x=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região do plano delimitada pelas três retas
y = x + 2,\qquad y = 5,\qquad x = 0.
Informações dadas:
  • A reta \;y=x+2\; (reta com coeficiente angular 1 e intercepto em 2).
  • A reta horizontal \;y=5\;.
  • A reta vertical \;x=0\; (o eixo y).
    O que queremos: a área da região fechada por essas três retas.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção entre cada par de retas — esses pontos serão os vértices da região.
  1. Interseção entre \;x=0\; e \;y=x+2\;: substituindo \;x=0\; em \;y=x+2\; obtemos
y = 0 + 2 = 2,
logo o ponto é (0,2).
  1. Interseção entre \;x=0\; e \;y=5\;: substituindo \;x=0\; em \;y=5\; não altera y, então o ponto é (0,5).
  2. Interseção entre \;y=x+2\; e \;y=5\;: igualando as duas expressões,
x+2 = 5 \quad\Rightarrow\quad x = 3,
e assim o ponto é (3,5).
Portanto os vértices da região são (0,2),\; (0,5),\; (3,5).

Passo 3

Descrevendo a forma da região a partir dos vértices: os pontos indicam um triângulo com um lado vertical de (0,2) a (0,5) e um lado horizontal de (0,5) a (3,5). Em termos de função em x, para x entre \;0\; e \;3\; a borda superior é \;y=5\; e a borda inferior é \;y=x+2\;. Logo a região pode ser descrita como o conjunto de pontos (x,y) com
0 \le x \le 3,\qquad x+2 \le y \le 5.

Passo 4

Escolha do método: duas opções naturais — usar geometria (fórmula da área do triângulo) ou calcular a área como integral da diferença entre a função de cima e a de baixo. Vou fazer a integral, porque é um procedimento direto e que você deve lembrar para problemas semelhantes na prova; depois faço a verificação geométrica por método clássico (triângulo) como checagem.
Fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Se, em um intervalo \;[a,b]\;, a curva superior é \;y_{\text{top}}(x)\; e a curva inferior é \;y_{\text{bot}}(x)\;, a área entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui cada símbolo significa:
  • a,b: limites em x do intervalo considerado (onde as curvas se encontram).
  • y_{\text{top}}(x): valor da função na fronteira superior para cada x.
  • y_{\text{bot}}(x): valor da função na fronteira inferior.
  • A expressão y_{\text{top}}-y_{\text{bot}} é a “altura” do retângulo vertical infinitesimal em cada x; integrar soma essas áreas infinitesimais para obter a área total.
No nosso caso:
y_{\text{top}}(x)=5,\qquad y_{\text{bot}}(x)=x+2,\qquad a=0,\; b=3.

Passo 5

Montando e calculando a integral passo a passo.
A integranda é
y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)=5-(x+2)=3-x.
Logo a área é
\text{Área}=\int_{0}^{3} (3-x)\,dx.Á
Integramos termo a termo. A primitiva de 3 em relação a x é 3x. A primitiva de -x é -\dfrac{x^{2}}{2}. Portanto uma primitiva do integrando é
F(x)=3x-\dfrac{x^{2}}{2}.
Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo (avaliar entre os limites):
\text{Área}=F(3)-F(0)=\left(3\cdot 3-\dfrac{3^{2}}{2}\right)-\left(3\cdot 0-\dfrac{0^{2}}{2}\right).Á
Calculando os termos:
3\cdot 3 = 9,\qquad \dfrac{3^{2}}{2}=\dfrac{9}{2},
portanto
\text{Área}=9-\dfrac{9}{2}=\dfrac{18}{2}-\dfrac{9}{2}=\dfrac{9}{2}.Á

Passo 6

Verificação geométrica (maneira alternativa e rápida): observando os vértices (0,2),\;(0,5),\;(3,5) temos um triângulo retângulo com catetos de comprimentos
\text{altura vertical}=5-2=3,\qquad \text{base horizontal}=3-0=3.
A fórmula da área do triângulo é
\text{Área}=\dfrac{\text{base}\times\text{altura}}{2}.Á
Substituindo:
\text{Área}=\dfrac{3\cdot 3}{2}=\dfrac{9}{2},Á
o que confirma o resultado obtido pela integral.

Resposta

\dfrac{9}{2}

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