Questão 11. Calcule a área da região delimitada por:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região do plano delimitada pelas três retas
Informações dadas:
- A reta
(reta com coeficiente angular e intercepto em ). - A reta horizontal
. - A reta vertical
(o eixo ).
O que queremos: a área da região fechada por essas três retas.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos de interseção entre cada par de retas — esses pontos serão os vértices da região.
- Interseção entre
e : substituindo em obtemos
logo o ponto é
.
-
Interseção entre
e : substituindo em não altera , então o ponto é . -
Interseção entre
e : igualando as duas expressões,
e assim o ponto é
.
Portanto os vértices da região são
.
Passo 3
Descrevendo a forma da região a partir dos vértices: os pontos indicam um triângulo com um lado vertical de
a
e um lado horizontal de
a
. Em termos de função em
, para
entre
e
a borda superior é
e a borda inferior é
. Logo a região pode ser descrita como o conjunto de pontos
com
Passo 4
Escolha do método: duas opções naturais — usar geometria (fórmula da área do triângulo) ou calcular a área como integral da diferença entre a função de cima e a de baixo. Vou fazer a integral, porque é um procedimento direto e que você deve lembrar para problemas semelhantes na prova; depois faço a verificação geométrica por método clássico (triângulo) como checagem.
Fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Se, em um intervalo
, a curva superior é e a curva inferior é , a área entre elas é
Aqui cada símbolo significa:
-
: limites em do intervalo considerado (onde as curvas se encontram). -
: valor da função na fronteira superior para cada . -
: valor da função na fronteira inferior. - A expressão
é a “altura” do retângulo vertical infinitesimal em cada ; integrar soma essas áreas infinitesimais para obter a área total.
No nosso caso:
Passo 5
Montando e calculando a integral passo a passo.
A integranda é
Logo a área é
Integramos termo a termo. A primitiva de
em relação a
é
. A primitiva de
é
. Portanto uma primitiva do integrando é
Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo (avaliar entre os limites):
Calculando os termos:
portanto
Passo 6
Verificação geométrica (maneira alternativa e rápida): observando os vértices
temos um triângulo retângulo com catetos de comprimentos
A fórmula da área do triângulo é
Substituindo:
o que confirma o resultado obtido pela integral.