a) Achar as coordenada do centro de gravidade da figura limitada pela cardióide r=a(1+cos theta). Resp. (5 a6 ; 0,2229)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o centro de gravidade (baricentro) da região plana limitada pela cardioide r = a(1 + costheta). Vamos usar coordenadas polares e as fórmulas para o baricentro de uma região: a área A, a abscissa do centro bar x e a ordenada bar y.

Passo 2

Conteúdo e fórmulas que vamos precisar:
– Área em polares:
A = 12 integral0^2pi r^2,dtheta
– Coordenada bar x:
bar x = 1A integral duplaR x,dA = 1A integral0^2piintegral0^r(theta) (rcostheta),r,dr,dtheta
– Coordenada bar y:
bar y = 1A integral duplaR y,dA = 1A integral0^2piintegral0^r(theta) (rsintheta),r,dr,dtheta

Passo 3

Cálculo da área:
A = 12 integral0^2pi a^2(1+costheta)^2,dtheta = a^22 integral0^2pi l(1 + 2costheta + cos^2thetar) dtheta
Como integral0^2picostheta,dtheta=0 e integral0^2picos^2theta,dtheta=pi, temos
A = a^22l(2pi + pir) = 3pi a^22

Passo 4

Cálculo de bar x:
$$\bar x = \frac{1}{A} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a(1+\cos\theta)} r^2\cos\theta ,dr,d\theta.
bar x = 1A integral0^2pi integral0^a(1+costheta) r^2costheta ,dr,dtheta \int_{0}^{a(1+\cos\theta)} r^2,dr = \frac{[a(1+\cos\theta)]^3}{3} = \frac{a3(1+\cos\theta)3}{3}.
r\bar x = \frac{1}{A} \cdot \frac{a^3}{3} \int_{0}^{2\pi} (1+\cos\theta)^3 \cos\theta ,d\theta.
integral0^a(1+costheta) r^2,dr = [a(1+costheta)]^33 = a^3(1+costheta)^33 \int_{0}{2\pi}(1+\cos\theta)3\cos\theta,d\theta = \frac{15\pi}{4},
bar x = 1A cdot a^33 integral0^2pi (1+costheta)^3 costheta ,dtheta \bar x = \frac{(a^3/3),(15\pi/4)}{(3\pi a^2/2)} = \frac{5a}{6}.
$$

Passo 5

Cálculo de bar y: como a região é simétrica em relação ao eixo x, para cada ponto (r,theta) existe um ponto (r,-theta) com a mesma área elementar, fazendo com que a soma das ordenadas seja zero. Assim,
$$\bar y = 0.
$$

Resposta

(5a/6,;0)

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