a) Achar as coordenada do centro de gravidade da figura limitada pela cardióide
. Resp.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o centro de gravidade (baricentro) da região plana limitada pela cardioide
. Vamos usar coordenadas polares e as fórmulas para o baricentro de uma região: a área
, a abscissa do centro
e a ordenada
.
Passo 2
Conteúdo e fórmulas que vamos precisar:
– Área em polares:
– Área em polares:
– Coordenada
– Coordenada
:
Passo 3
Cálculo da área:
Como
Passo 4
Cálculo de
:
$$\bar x = \frac{1}{A} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a(1+\cos\theta)} r^2\cos\theta ,dr,d\theta.
$$
Passo 5
Cálculo de
: como a região é simétrica em relação ao eixo
, para cada ponto
existe um ponto
com a mesma área elementar, fazendo com que a soma das ordenadas seja zero. Assim,
$$\bar y = 0.
$$
Resposta
(5a/6,;0)