A região do 19 quadrante delimitada pela curva y=4 x-x^2 é girada em torno do eixo y. Calcule o volume do sólido resultante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região no primeiro quadrante delimitada pela curva $ y = 4x - x^{2} $. A missão aqui é girar essa área em torno do eixo y e descobrir qual é o volume do sólido que vai se formar. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a curva $ y = 4x - x^{2} $. Essa é uma parábola que abre para baixo. Vamos encontrar os pontos onde essa curva intercepta o eixo x para identificar os limites de integração. Para isso, igualamos $ y $ a zero:
y = 4x - x^2
Então, as interseções são em $ x = 0 $ e $ x = 4 $. Isso significa que nossa região está entre $ x = 0 $ e $ x = 4 $.

Passo 3

Agora, como vamos girar essa região em torno do eixo y, é mais conveniente reescrever a equação da curva em termos de $ x $ como função de $ y $. Vamos resolver $ y = 4x - x^{2} $ para $ x $:
x
Usando a fórmula de Bhaskara:
y
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos apenas a solução positiva:
y = 4x - x^2

Passo 4

Para calcular o volume usando o método dos discos, usamos a fórmula:
V = pi integralymin^ymax [R(y)]^2 , dy
Aqui, $ R(y) $ é o raio do disco, que no nosso caso é $ x = 2 + \sqrt{4 - y} $. Os limites de integração são de $ y = 0 $ até $ y = 4x - x^{2} $ máximo. Quando $ x = 2 $, $ y = 4(2) - (2)^{2} = 8 - 4 = 4 $. Então, $ y_{max} = 4 $.

Passo 5

Vamos montar a integral:
V = pi integral0^4 (2 + raiz4 - y)^2 dy
Vamos expandir o quadrado:
(2 + raiz4 - y)^2 = 4 + 4raiz4 - y + (4 - y) = 8 + 4raiz4 - y - y
Então, a integral fica:
V = pi integral0^4 (8 + 4raiz4 - y - y) dy

Passo 6

Agora, vamos integrar termo por termo:
V = pi [ 8y + 4 cdot 23 (4 - y)^3/2-1 - y^22 ]0^4
Calculando cada parte:
  1. $ \int 8 , dy = 8y $
  2. $ \int 4\sqrt{4 - y} , dy = \frac{8}{3} (4 - y)^{3/2} $
  3. $ \int -y , dy = -\frac{y^{2}}{2} $

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 4:
V = pi [ 8(4) + 83(0) - 162 - (8(0) + 83(4)^3/2 - 0 ) ]
Simplificando:
V = pi [ 32 + 0 - 8 - (0 + 83(8) - 0 ) ] = pi (24 - 643) = pi (723 - 643) = pi (83) = 8pi3

Resposta

O volume do sólido formado ao girar a região delimitada pela curva $ y = 4x - x^{2} $ em torno do eixo y é $ \frac{8\pi}{3} $ unidades cúbicas.

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