A região do 19 quadrante delimitada pela curva
é girada em torno do eixo y. Calcule o volume do sólido resultante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma região no primeiro quadrante delimitada pela curva $ y = 4x - x^{2} $. A missão aqui é girar essa área em torno do eixo y e descobrir qual é o volume do sólido que vai se formar. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a curva $ y = 4x - x^{2} $. Essa é uma parábola que abre para baixo. Vamos encontrar os pontos onde essa curva intercepta o eixo x para identificar os limites de integração. Para isso, igualamos $ y $ a zero:
Então, as interseções são em $ x = 0 $ e $ x = 4 $. Isso significa que nossa região está entre $ x = 0 $ e $ x = 4 $.
Passo 3
Agora, como vamos girar essa região em torno do eixo y, é mais conveniente reescrever a equação da curva em termos de $ x $ como função de $ y $. Vamos resolver $ y = 4x - x^{2} $ para $ x $:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos apenas a solução positiva:
Passo 4
Para calcular o volume usando o método dos discos, usamos a fórmula:
Aqui, $ R(y) $ é o raio do disco, que no nosso caso é $ x = 2 + \sqrt{4 - y} $. Os limites de integração são de $ y = 0 $ até $ y = 4x - x^{2} $ máximo. Quando $ x = 2 $, $ y = 4(2) - (2)^{2} = 8 - 4 = 4 $. Então, $ y_{max} = 4 $.
Passo 5
Vamos montar a integral:
Vamos expandir o quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo por termo:
Calculando cada parte:
- $ \int 8 , dy = 8y $
- $ \int 4\sqrt{4 - y} , dy = \frac{8}{3} (4 - y)^{3/2} $
- $ \int -y , dy = -\frac{y^{2}}{2} $
Passo 7
Aplicando os limites de integração de 0 a 4:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido formado ao girar a região delimitada pela curva $ y = 4x - x^{2} $ em torno do eixo y é $ \frac{8\pi}{3} $ unidades cúbicas.