Considere a função
f(z)= 0, & z=0 z^5|z^4|, & z neq 0
(a) Expresse f na forma f(z)=u(x, y)+i v(x, y).

Passo 1

Estamos com a função complexa dada por
f(z)=0,&z=0, dfracz^5|z|^4,&zneq0
O objetivo é escrever f na forma u(x,y)+iv(x,y). Para isso vamos usar coordenadas polares e a fórmula de De Moivre.

Passo 2

Para zneq0 escrevemos z=re^itheta, onde r=|z|=raizx^2+y^2 e theta=arg z. Então
f(z)=z^5|z|^4=r^5e^i5thetar^4=r e^i5theta

Passo 3

Aplicando a identidade de Euler, temos
r e^i5theta=rl(cos5theta+isin5thetar)
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u(r,theta)=rcos5theta, v(r,theta)=rsin5theta

Passo 4

Precisamos agora reescrever cos5theta e sin5theta em termos de x e y. Usando De Moivre e que x=rcostheta, y=rsintheta, obtemos
cos5theta=x^5-10x^3y^2+5xy^4r^5, sin5theta=5x^4y-10x^2y^3+y^5r^5

Passo 5

Multiplicando por r para recuperar u e v, e lembrando que r^5 no denominador vira r^4=(x^2+y^2)^2, chegamos a
u(x,y)=x^5-10x^3y^2+5xy^4(x^2+y^2)^2, v(x,y)=5x^4y-10x^2y^3+y^5(x^2+y^2)^2,
valendo para (x,y)neq(0,0), e u(0,0)=v(0,0)=0.

Resposta

Para z= x+iy temos
f(z)=u(x,y)+iv(x,y),
onde
u(x,y)=0,&(x,y)=(0,0),[6pt] dfracx^5-10x^3y^2+5xy^4(x^2+y^2)^2,&caso contrário, á
v(x,y)=0,&(x,y)=(0,0),[6pt] dfrac5x^4y-10x^2y^3+y^5(x^2+y^2)^2,&caso contrário á

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