Achar a derivada da foncêo f: R^{3} \rightarrow R, dada por
f(x, y, z)=x y+y z+8 x

Passo 1

O enunciado pede para “achar a derivada” da função f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} dada por
f(x,y,z)=xy+yz+8x.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\begin{aligned} &\text{Função: }f(x,y,z)=xy+yz+8x,\\\ &\text{Variáveis independentes: }x,\;y,\;z\in\mathbb{R},\\\ &\text{Domínio: }\mathbb{R}^{3},\quad\text{Imagem: }\mathbb{R}. \end{aligned}çãáí
A pergunta é única: encontrar a derivada de f (no sentido de derivada para funções de várias variáveis). Não vamos resolver nada ainda, apenas identificamos o que é pedido e os dados.

Passo 2

O que significa “derivada” aqui e como vamos calcular — conceito que preciso te explicar com calma:
\text{Para funções escalares }f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R},\text{ a derivada em um ponto pode ser dada pelos derivadas parciais.}çõ
Definição de derivada parcial em x (as outras são análogas): para um ponto (x,y,z),
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
Interpretação simples: ao calcular \partial f/\partial x tratamos y e z como constantes e vemos a taxa de variação de f quando só x muda. A mesma ideia vale para \partial f/\partial y e \partial f/\partial z. Quando temos todas as derivadas parciais, podemos formar o gradiente
\nabla f(x,y,z)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)\\[6pt]\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)\\[6pt]\dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\end{pmatrix},
que representa a derivada total/linear Df(x,y,z) como um mapa linear \mathbb{R}^3\to\mathbb{R} (usualmente escrito como vetor linha ou coluna conforme convenção).]

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo usando a definição (vou mostrar com a técnica prática: tratar y,z constantes).
Começamos com
f(x+h,y,z)=(x+h)y+y z+8(x+h).
Subtraindo f(x,y,z)=xy+yz+8x obtemos
f(x+h,y,z)-f(x,y,z)=hy+8h.
Dividindo por h e tomando o limite h\to 0,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{hy+8h}{h}=y+8.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=y+8.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}. Trataremos x,z como constantes e variamos y por h:
f(x,y+h,z)=x(y+h)+(y+h)z+8x.
Subtraindo f(x,y,z)=xy+yz+8x obtemos
f(x,y+h,z)-f(x,y,z)=xh+zh.
Dividindo por h e tomando limite,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{xh+zh}{h}=x+z.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=x+z.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial z}. Agora x,y são constantes e variamos z por h:
f(x,y,z+h)=xy+y(z+h)+8x.
Subtraindo f(x,y,z)=xy+yz+8x obtemos
f(x,y,z+h)-f(x,y,z)=yh.
Dividindo por h e tomando limite,
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{yh}{h}=y.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=y.

Passo 6

Agora juntamos as derivadas parciais para escrever a derivada total (gradiente) de f. O gradiente é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais:
\nabla f(x,y,z)=\begin{pmatrix}y+8\\[4pt]x+z\\[4pt]y\end{pmatrix}.
Explicando o que isso significa em termos práticos: se você quiser a aproximação linear da variação de f em torno de um ponto (x,y,z) para uma pequena variação (h_1,h_2,h_3), a variação aproximada é
Df(x,y,z)\big(h_1,h_2,h_3\big)=(y+8)h_1+(x+z)h_2+yh_3,
ou seja, o gradiente fornece os coeficientes dessa aproximação linear.]

Passo 7

Exemplo numérico rápido para consolidar (só para você ver como usar): em (x,y,z)=(1,2,3),
\nabla f(1,2,3)=\begin{pmatrix}2+8\\[4pt]1+3\\[4pt]2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\[4pt]4\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Isto significa que, perto desse ponto, se x aumenta 0,1 e y,z não mudarem muito, f aumenta aproximadamente 10\cdot 0,1=1. Força rápida pra te dar confiança — dá pra usar direto na prova.]

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\begin{pmatrix}y+8\\[4pt]x+z\\[4pt]y\end{pmatrix}.]

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