A pergunta é única: encontrar a derivada de f (no sentido de derivada para funções de várias variáveis). Não vamos resolver nada ainda, apenas identificamos o que é pedido e os dados.
Passo 2
O que significa “derivada” aqui e como vamos calcular — conceito que preciso te explicar com calma:
\text{Para funções escalares }f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R},\text{ a derivada em um ponto pode ser dada pelos derivadas parciais.}
Definição de derivada parcial em x (as outras são análogas): para um ponto (x,y,z),
Interpretação simples: ao calcular \partial f/\partial x tratamos y e z como constantes e vemos a taxa de variação de f quando só x muda. A mesma ideia vale para \partial f/\partial y e \partial f/\partial z. Quando temos todas as derivadas parciais, podemos formar o gradiente
que representa a derivada total/linear Df(x,y,z) como um mapa linear \mathbb{R}^3\to\mathbb{R} (usualmente escrito como vetor linha ou coluna conforme convenção).]
Passo 3
Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo usando a definição (vou mostrar com a técnica prática: tratar y,z constantes).
Começamos com
Agora juntamos as derivadas parciais para escrever a derivada total (gradiente) de f. O gradiente é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais:
Explicando o que isso significa em termos práticos: se você quiser a aproximação linear da variação de f em torno de um ponto (x,y,z) para uma pequena variação (h_1,h_2,h_3), a variação aproximada é
Isto significa que, perto desse ponto, se x aumenta 0,1 e y,z não mudarem muito, f aumenta aproximadamente 10\cdot 0,1=1. Força rápida pra te dar confiança — dá pra usar direto na prova.]