Dada a transformação linear A: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}, defina a função g: \mathbb{R}^{m} \times \mathbb{R}^{n} por
g(x, y)=(\Lambda x) \cdot x
Assim sendo, determine \nabla g(x).

Passo 1

O enunciado dá uma função g definida em \mathbb{R}^{m}\times\mathbb{R}^{n} por
g(x,y)=(\Lambda x)\cdot x.
Informações relevantes:
  • A função depende apenas da variável x\in\mathbb{R}^{m}; a variável y\in\mathbb{R}^{n} não aparece na expressão (logo g é constante em y).
  • \Lambda é indicada como transformação linear (vou entender \Lambda:\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{m}, isto é, uma matriz m\times m, pois (\Lambda x)\cdot x é um produto interno em \mathbb{R}^{m}).
  • O que se pede é \nabla g(x). Interpreto isso como o gradiente de g em relação à componente x (se for preciso o gradiente completo em \mathbb{R}^{m+n}, ele incorpora também a parte em y, que será explicada adiante).

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos encontrá-lo.
  • Definição prática: o gradiente \nabla_x g(x,y) é o vetor em \mathbb{R}^{m} tal que, para qualquer direção h\in\mathbb{R}^m, a derivada direcional de g em x na direção h é
Dg(x,y)[h]=h\cdot \nabla_x g(x,y).
  • Estratégia: calcular a derivada direcional Dg(x,y)[h] usando linearidade de \Lambda e regra do produto, e identificar o vetor que aparece multiplicando h.

Passo 3

Calculando a derivada direcional Dg(x,y)[h].
  • Começamos com a definição de derivada direcional:
Dg(x,y)[h]=\lim_{t\to 0}\frac{g(x+th,y)-g(x,y)}{t}.
  • Expandindo g(x+th,y) usando linearidade de \Lambda:
g(x+th,y)=(\Lambda(x+th))\cdot(x+th)=(\Lambda x+\!t\Lambda h)\cdot(x+th).
  • Desenvolvendo o produto escalar:
(\Lambda x+t\Lambda h)\cdot(x+th)=(\Lambda x)\cdot x+t(\Lambda h)\cdot x+t(\Lambda x)\cdot h+t^2(\Lambda h)\cdot h.
  • Subtraindo g(x,y)=(\Lambda x)\cdot x, dividindo por t e tomando t\to 0, o termo com t^2 some, ficando
Dg(x,y)[h]=(\Lambda h)\cdot x+(\Lambda x)\cdot h.

Passo 4

Reescrevendo Dg(x,y)[h] de forma que apareça h em produto com um vetor (o gradiente).
  • Usando propriedades do produto escalar e notação matricial, para vetores u,v temos u\cdot v = u^{T}v. Assim
(\Lambda h)\cdot x = h^{T}\Lambda^{T}x \qquad\text{e}\qquad (\Lambda x)\cdot h = h^{T}\Lambda x.
  • Somando,
Dg(x,y)[h]=h^{T}(\Lambda^{T}x)+h^{T}(\Lambda x)=h^{T}\bigl((\Lambda+\Lambda^{T})x\bigr).
  • Comparando com a definição Dg(x,y)[h]=h\cdot \nabla_x g(x,y)=h^{T}\nabla_x g(x,y), identificamos
\nabla_x g(x,y)=(\Lambda+\Lambda^{T})x.

Passo 5

Expressões componentes e casos especiais; gradiente completo em \mathbb{R}^{m+n}.
  • Em coordenadas, a i-ésima componente do gradiente é
\frac{\partial g}{\partial x_i}(x,y)=\sum_{j=1}^{m}\bigl(\Lambda_{ij}+\Lambda_{ji}\bigr)x_j.
  • Caso especial: se \Lambda for simétrica ( \Lambda=\Lambda^{T}), então
\nabla_x g(x,y)=2\Lambda x.
  • Como g não depende de y, a derivada parcial em relação a y é o vetor zero em \mathbb{R}^{n}. Portanto o gradiente total em \mathbb{R}^{m+n} é
\nabla_{(x,y)} g(x,y)=\bigl((\Lambda+\Lambda^{T})x,\;0\bigr).

Resposta

\nabla_x g(x,y)=(\Lambda+\Lambda^{T})x
\nabla_{(x,y)} g(x,y)=\bigl((\Lambda+\Lambda^{T})x,\;0\bigr)

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