Dada a transformação linear
, defina a função
por
Assim sendo, determine
.
Passo 1
O enunciado dá uma função
definida em
por
Informações relevantes:
- A função depende apenas da variável
; a variável não aparece na expressão (logo é constante em ). -
é indicada como transformação linear (vou entender , isto é, uma matriz , pois é um produto interno em ). - O que se pede é
. Interpreto isso como o gradiente de em relação à componente (se for preciso o gradiente completo em , ele incorpora também a parte em , que será explicada adiante).
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos encontrá-lo.
- Definição prática: o gradiente
é o vetor em tal que, para qualquer direção , a derivada direcional de em na direção é
- Estratégia: calcular a derivada direcional
usando linearidade de e regra do produto, e identificar o vetor que aparece multiplicando .
Passo 3
Calculando a derivada direcional
.
- Começamos com a definição de derivada direcional:
- Expandindo
usando linearidade de :
- Desenvolvendo o produto escalar:
- Subtraindo
, dividindo por e tomando , o termo com some, ficando
Passo 4
Reescrevendo
de forma que apareça
em produto com um vetor (o gradiente).
- Usando propriedades do produto escalar e notação matricial, para vetores
temos . Assim
- Somando,
- Comparando com a definição
, identificamos
Passo 5
Expressões componentes e casos especiais; gradiente completo em
.
- Em coordenadas, a
-ésima componente do gradiente é
- Caso especial: se
for simétrica ( ), então
- Como
não depende de , a derivada parcial em relação a é o vetor zero em . Portanto o gradiente total em é