Exemplo3:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e pedido:
- A expressão na forma de uma razão com numerador
e denominador . - O ponto onde fazemos o limite é
. - Devemos calcular o valor numérico desse limite.
Passo 2
Verifico o que acontece se eu substituo
diretamente: o numerador fica
e o denominador fica
. Logo a forma é
, uma indeterminação. Quando isso ocorre precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação antes de avaliar o limite.
Passo 3
Faço uma manipulação algébrica no numerador usando propriedades de potências. Lembro que
. Assim
Expliquei: usei a propriedade
(aqui com
e
).
Passo 4
Substituo essa fatoração na expressão do limite e tiro a constante
para fora do limite (é permitido, constantes saem do operador limite):
Passo 5
Faço a mudança de variável para simplificar a notação: defino
. Quando
temos
. A expressão dentro do limite fica mais clara:
Agora o problema passou a ser avaliar
.
Passo 6
Para lidar com limites envolvendo potências com base diferente de
, uso a identidade que converte potências em exponenciais naturais:
onde
é o logaritmo natural de
. Essa identidade vale porque
para qualquer
. Substituindo:
Passo 7
Faço uma nova substituição auxiliar para aproveitar um limite padrão. Defino
. Quando
temos
. Reescrevo a fração:
Mas
. Então
Passo 8
Uso o limite conhecido e fundamental
(Explicação rápida: essa é a derivada de
em
, ou pode-se ver pela série de Taylor
, que mostra que
quando
.) Assim, voltando:
Passo 9
Finalmente substituo esse resultado na expressão com o fator
que deixei de fora:
Esse é o valor do limite. Tá feito — respira, você conseguiu chegar na resposta!