Faça o mapa de contorno da função, mostrando várias curvas de nível, em cada caso.
Passo 1
O enunciado pede que eu faça o mapa de contorno da função
, ou seja, que eu descreva e mostre várias curvas de nível (níveis constantes) dessa função. Informações relevantes fornecidas no enunciado:
- A função está escrita em termos de
e . - Preciso desenhar (ou descrever) várias curvas de nível, isto é, os conjuntos onde
para constantes . - É implícito que devo indicar como essas curvas se comportam no plano
(localização, formas, tendência quando varia).
Passo 2
Entender o que é uma curva de nível e qual é o domínio da função. Curva de nível para um valor
é o conjunto de pontos
tais que
Aqui a função usa
no denominador de uma exponencial, então observe que
torna o denominador zero e a função não está definida em
. Portanto o domínio é
Também é útil antecipar o comportamento radial: defina
(distância ao origin). Então a função pode ser vista como dependente apenas de
:
Passo 3
Encontrar o conjunto de níveis possíveis (o contradomínio que realmente ocorre) usando limites em
. Quando
temos
, então
Quando
temos
, então
Logo os valores possíveis de
para pontos do domínio são todos os números
tais que
Portanto só precisamos considerar curvas de nível para constantes
.
Passo 4
Resolver explicitamente a equação da curva de nível. Parto de
Substituindo
e usando
,
Tiro o logaritmo natural (função inversa de exponencial). Lembre que
de um número maior que 1 é positivo, e
. Assim:
Como
,
Conclusão: para cada
a curva de nível é o círculo centrado na origem com raio
.
Passo 5
Interpretar geometricamente e o comportamento quando
varia. Observações importantes:
- Todas as curvas de nível são círculos concêntricos (mesmo centro: a origem).
- À medida que
aumenta (nível maior), aumenta, então diminui e, consequentemente, o raio diminui. Portanto níveis maiores correspondem a círculos mais próximos da origem. - À medida que
, e : níveis próximos de são círculos muito grandes (longínquos). - A função cresce sem limite quando nos aproximamos da origem; a origem não pertence às curvas (não pertence ao domínio), mas é o ponto para o qual as curvas se encolhem quando
.
Passo 6
Exemplos numéricos (escolhi alguns níveis
) para facilitar o desenho prático do mapa de contorno. Para cada
calculo
. Apresento aproximações decimais (arredondadas a três casas decimais) que dão os raios a desenhar:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Esses valores mostram claramente os círculos concêntricos: nível
é um círculo bem grande (raio ~10), nível
um círculo pequeno perto da origem (raio ~0,466).
Passo 7
Como montar o mapa de contorno de fato (instruções passo a passo para desenhar, do jeito que você faria na prova ou num rascunho):
- Trace os eixos
e e marque a origem. - Para cada constante
que você escolher, calcule (usar tabela de ln ou valores conhecidos). - Desenhe o círculo centrado na origem com raio
. Repita para vários (por exemplo os valores do Passo 6). - Indique em cada círculo o valor de
correspondente (ou seu ). Lembre-se: círculos internos correspondem a maiores. - Observe que não existe curva para
; regiões muito externas do plano correspondem a valores de muito próximos de .
Dica prática: se tiver pouco tempo, escolha 4–6 níveis bem espaçados (por exemplo
) para mostrar claramente o comportamento radial.
Passo 8
Comentário final e motivacional: o mapa de contorno dessa função é particularmente simples e elegante — todas as curvas são círculos concêntricos cuja formula do raio você já obteve. Isso significa que, na prova, basta reconhecer a dependência radial
, isolar
a partir de
e desenhar círculos com os raios calculados. Vai dar certo — você já tem a receita completa!
Resposta
As curvas de nível são círculos centrados na origem dados por
com
.
Exemplos numéricos: