Faça o mapa de contorno da função, mostrando várias curvas de nível, em cada caso.
f(x, y)=e^{1 /\left(x^{2}+y^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede que eu faça o mapa de contorno da função \displaystyle f(x,y)=e^{1/\left(x^{2}+y^{2}\right)}, ou seja, que eu descreva e mostre várias curvas de nível (níveis constantes) dessa função. Informações relevantes fornecidas no enunciado:
f(x,y)=e^{1/\left(x^{2}+y^{2}\right)}
  • A função está escrita em termos de x e y.
  • Preciso desenhar (ou descrever) várias curvas de nível, isto é, os conjuntos onde f(x,y)=c para constantes c.
  • É implícito que devo indicar como essas curvas se comportam no plano xy (localização, formas, tendência quando c varia).

Passo 2

Entender o que é uma curva de nível e qual é o domínio da função. Curva de nível para um valor c é o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=c.
Aqui a função usa x^{2}+y^{2} no denominador de uma exponencial, então observe que (x,y)=(0,0) torna o denominador zero e a função não está definida em (0,0). Portanto o domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid (x,y)\neq(0,0)\}.
Também é útil antecipar o comportamento radial: defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (distância ao origin). Então a função pode ser vista como dependente apenas de r:
f(x,y)=e^{1/r^{2}},\quad r>0.

Passo 3

Encontrar o conjunto de níveis possíveis (o contradomínio que realmente ocorre) usando limites em r. Quando r\to\infty temos 1/r^{2}\to 0, então
\lim_{r\to\infty} e^{1/r^{2}} = e^{0}=1.
Quando r\to 0^{+} temos 1/r^{2}\to +\infty, então
\lim_{r\to 0^{+}} e^{1/r^{2}} = +\infty.
Logo os valores possíveis de f para pontos do domínio são todos os números c tais que
c>1.
Portanto só precisamos considerar curvas de nível para constantes c>1.

Passo 4

Resolver explicitamente a equação da curva de nível. Parto de
f(x,y)=c \quad\text{com}\quad c>1.
Substituindo f e usando r^{2}=x^{2}+y^{2},
e^{1/r^{2}}=c.
Tiro o logaritmo natural (função inversa de exponencial). Lembre que \ln de um número maior que 1 é positivo, e \ln(e^{\alpha})=\alpha. Assim:
\frac{1}{r^{2}}=\ln c \quad\Rightarrow\quad r^{2}=\frac{1}{\ln c}.
Como r\ge 0,
r=\sqrt{\frac{1}{\ln c}}.
Conclusão: para cada c>1 a curva de nível é o círculo centrado na origem com raio r=\sqrt{1/\ln c}.

Passo 5

Interpretar geometricamente e o comportamento quando c varia. Observações importantes:
  • Todas as curvas de nível são círculos concêntricos (mesmo centro: a origem).
  • À medida que c aumenta (nível maior), \ln c aumenta, então 1/\ln c diminui e, consequentemente, o raio r diminui. Portanto níveis maiores correspondem a círculos mais próximos da origem.
  • À medida que c\searrow 1^{+}, \ln c\searrow 0^{+} e r\to\infty: níveis próximos de 1 são círculos muito grandes (longínquos).
  • A função cresce sem limite quando nos aproximamos da origem; a origem não pertence às curvas (não pertence ao domínio), mas é o ponto para o qual as curvas se encolhem quando c\to\infty.

Passo 6

Exemplos numéricos (escolhi alguns níveis c>1) para facilitar o desenho prático do mapa de contorno. Para cada c calculo r=\sqrt{1/\ln c}. Apresento aproximações decimais (arredondadas a três casas decimais) que dão os raios a desenhar:
  • Para c=1,01: \ln(1,01)\approx 0,00995\Rightarrow r\approx 10,025.
  • Para c=1,1: \ln(1,1)\approx 0,09531\Rightarrow r\approx 3,240.
  • Para c=2: \ln 2\approx 0,69315\Rightarrow r\approx 1,201.
  • Para c=e: \ln e=1\Rightarrow r=1,000.
  • Para c=10: \ln 10\approx 2,30259\Rightarrow r\approx 0,658.
  • Para c=100: \ln 100\approx 4,60517\Rightarrow r\approx 0,466.
Esses valores mostram claramente os círculos concêntricos: nível 1,01 é um círculo bem grande (raio ~10), nível 100 um círculo pequeno perto da origem (raio ~0,466).

Passo 7

Como montar o mapa de contorno de fato (instruções passo a passo para desenhar, do jeito que você faria na prova ou num rascunho):
  1. Trace os eixos x e y e marque a origem.
  2. Para cada constante c>1 que você escolher, calcule r=\sqrt{1/\ln c} (usar tabela de ln ou valores conhecidos).
  3. Desenhe o círculo centrado na origem com raio r. Repita para vários c (por exemplo os valores do Passo 6).
  4. Indique em cada círculo o valor de c correspondente (ou seu r). Lembre-se: círculos internos correspondem a c maiores.
  5. Observe que não existe curva para c\le 1; regiões muito externas do plano correspondem a valores de f muito próximos de 1.
Dica prática: se tiver pouco tempo, escolha 4–6 níveis bem espaçados (por exemplo c=1,1;\;2;\;e;\;10) para mostrar claramente o comportamento radial.

Passo 8

Comentário final e motivacional: o mapa de contorno dessa função é particularmente simples e elegante — todas as curvas são círculos concêntricos cuja formula do raio você já obteve. Isso significa que, na prova, basta reconhecer a dependência radial r^{2}=x^{2}+y^{2}, isolar r a partir de e^{1/r^{2}}=c e desenhar círculos com os raios calculados. Vai dar certo — você já tem a receita completa!

Resposta

As curvas de nível são círculos centrados na origem dados por r=\sqrt{1/\ln c} com c>1.
Exemplos numéricos:
c=1,01\Rightarrow r\approx 10,025
c=1,1\Rightarrow r\approx 3,240
c=2\Rightarrow r\approx 1,201
c=e\Rightarrow r=1,000
c=10\Rightarrow r\approx 0,658
c=100\Rightarrow r\approx 0,466

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