Achar a derivada da função f(x, y, z)=x^{2}-3 y z+5 no ponto P=(1,2,-1) na direção que vai deste ao ponto Q=(5,5,5).

Passo 1

O que o enunciado pede: achar a derivada de direção da função f(x,y,z)=x^{2}-3yz+5 no ponto P=(1,2,-1) na direção que vai de P para Q=(5,5,5).
Informações dadas:
f(x,y,z)=x^{2}-3yz+5,
P=(1,2,-1),
Q=(5,5,5).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e direta):
  • A derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f por unidade de comprimento nessa direção.
  • A definição prática e usada em provas é:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u},
onde \nabla f(P) é o gradiente de f avaliado em P e \cdot é o produto escalar (dot product).
  • O gradiente \nabla f é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Explicando cada símbolo:
  • \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x: trata y e z como constantes.
  • \mathbf{u} deve ser unitário (norma 1); se temos um vetor de direção \mathbf{v}, obtemos \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}, com \|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
    Motivação curta: em muitas questões é mais rápido calcular o gradiente e o vetor direção normalizado do que usar a definição por limite.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f.
f(x,y,z)=x^{2}-3yz+5.
Derivando:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,
\frac{\partial f}{\partial y}=-3z,
\frac{\partial f}{\partial z}=-3y.

Passo 4

Avaliar o gradiente em P=(1,2,-1). Substituímos x=1, y=2, z=-1 nas expressões das parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2,-1)=2\cdot 1=2,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2,-1)=-3\cdot(-1)=3,
\frac{\partial f}{\partial z}(1,2,-1)=-3\cdot 2=-6.
Portanto o gradiente em P é
\nabla f(P)=\bigl(2,\,3,\,-6\bigr).

Passo 5

Calcular o vetor de direção que vai de P para Q. Isso é simplesmente \overrightarrow{PQ}=Q-P:
\overrightarrow{PQ}=(5-1,\,5-2,\,5-(-1))=(4,\,3,\,6).

Passo 6

Normalizar esse vetor para obter o vetor unitário \mathbf{u}.
Primeiro a norma:
\|\overrightarrow{PQ}\|=\sqrt{4^{2}+3^{2}+6^{2}}=\sqrt{16+9+36}=\sqrt{61}.
Então o vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{61}}\,(4,\,3,\,6).

Passo 7

Calcular a derivada direcional usando o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
Substituindo os vetores:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\bigl(2,\,3,\,-6\bigr)\cdot\frac{1}{\sqrt{61}}\,(4,\,3,\,6).
Fazendo o produto escalar no numerador:
(2,3,-6)\cdot(4,3,6)=2\cdot 4 + 3\cdot 3 + (-6)\cdot 6=8+9-36=-19.
Dividindo pela norma \sqrt{61}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\frac{-19}{\sqrt{61}}.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo: o valor \dfrac{-19}{\sqrt{61}} é a taxa de variação de f em P por unidade de comprimento na direção de P para Q. É negativo, então f diminui ao avançar nessa direção. Você mandou bem chegando até aqui — com esse procedimento (gradiente + vetor direção normalizado) você resolve qualquer derivada direcional em espaços 2D/3D.

Resposta

\displaystyle -\frac{19}{\sqrt{61}}

Exercícios relacionados