\frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x: trata y e z como constantes.
\mathbf{u} deve ser unitário (norma 1); se temos um vetor de direção \mathbf{v}, obtemos \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}, com \|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
Motivação curta: em muitas questões é mais rápido calcular o gradiente e o vetor direção normalizado do que usar a definição por limite.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f.
f(x,y,z)=x^{2}-3yz+5.
Derivando:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,
\frac{\partial f}{\partial y}=-3z,
\frac{\partial f}{\partial z}=-3y.
Passo 4
Avaliar o gradiente em P=(1,2,-1). Substituímos x=1, y=2, z=-1 nas expressões das parciais:
Interpretação rápida e incentivo: o valor \dfrac{-19}{\sqrt{61}} é a taxa de variação de f em P por unidade de comprimento na direção de P para Q. É negativo, então f diminui ao avançar nessa direção. Você mandou bem chegando até aqui — com esse procedimento (gradiente + vetor direção normalizado) você resolve qualquer derivada direcional em espaços 2D/3D.