Demonstrar que a função z=y \varphi\left(x^{2}-y^{2}\right) satisfaz à equação diferencial:
\frac{1}{x} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{y} \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z}{y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função z = y\,\varphi\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr) e pede para demonstrar que ela satisfaz a equação
\frac{1}{x}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{y}\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z}{y^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • \varphi é uma função de uma variável (assumimos diferenciável o bastante para calcular derivadas).
  • A variável independente é o par (x,y) e z depende de x e y através de y multiplicando \varphi de x^{2}-y^{2}.
  • Precisamos calcular as derivadas parciais \partial z/\partial x e \partial z/\partial y, substituir na expressão à esquerda e mostrar que ela é igual à expressão da direita.

Passo 2

Vamos simplificar a escrita definindo a variável auxiliar
u := x^{2}-y^{2}.
Assim podemos escrever
z = y\,\varphi(u).
Explicação rápida das ferramentas que vamos usar:
  • Regra do produto: se f(x,y)=a(x,y)\,b(x,y) então \partial f/\partial x=(\partial a/\partial x)\,b + a\,(\partial b/\partial x).
  • Regra da cadeia: se b(x,y)=\varphi(u(x,y)), então \partial b/\partial x = \varphi'(u)\,\frac{\partial u}{\partial x}. Aqui \varphi'(u) é a derivada de \varphi em relação ao seu argumento u.

Passo 3

Calculemos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
Usando z=y\,\varphi(u) e a regra do produto, tratando y como constante quando derivamos em relação a x:
\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \frac{d}{dx}\bigl(\varphi(u)\bigr).
Agora aplicamos a regra da cadeia para \varphi(u(x,y)):
\frac{d}{dx}\bigl(\varphi(u)\bigr) = \varphi'(u)\,\frac{\partial u}{\partial x}.
Como u = x^{2}-y^{2}, temos \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=2x. Portanto,
\frac{\partial z}{\partial x} = y\;\varphi'(u)\;2x = 2xy\,\varphi'\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).

Passo 4

Calculemos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
Usando novamente z=y\,\varphi(u) e a regra do produto:
\frac{\partial z}{\partial y} = 1\cdot\varphi(u) + y\cdot\frac{d}{dy}\bigl(\varphi(u)\bigr).
Aplicamos a regra da cadeia para \frac{d}{dy}\bigl(\varphi(u)\bigr):
\frac{d}{dy}\bigl(\varphi(u)\bigr) = \varphi'(u)\,\frac{\partial u}{\partial y}.
Como u = x^{2}-y^{2}, temos \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=-2y. Assim
\frac{\partial z}{\partial y} = \varphi(u) + y\;\varphi'(u)\;(-2y) = \varphi\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr) - 2y^{2}\,\varphi'\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).

Passo 5

Agora montamos a combinação que aparece na equação:
\frac{1}{x}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{y}\frac{\partial z}{\partial y}.
Substituindo as derivadas que achamos nos Passos 3 e 4:
\frac{1}{x}\bigl(2xy\,\varphi'\bigr) + \frac{1}{y}\Bigl(\varphi - 2y^{2}\varphi'\Bigr),
onde, para brevidade, \varphi representa \varphi\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr) e \varphi' representa \varphi'\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).

Passo 6

Simplificamos a expressão do Passo 5 passo a passo:
Primeiro termo:
\frac{1}{x}\bigl(2xy\,\varphi'\bigr) = 2y\,\varphi'.
Segundo termo:
\frac{1}{y}\Bigl(\varphi - 2y^{2}\varphi'\Bigr) = \frac{\varphi}{y} - 2y\,\varphi'.
Somando os dois termos:
2y\,\varphi' + \left(\frac{\varphi}{y} - 2y\,\varphi'\right) = \frac{\varphi}{y}.
Portanto encontramos
\frac{1}{x}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{y}\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{y}\,\varphi\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).

Passo 7

Finalmente, escrevemos o lado direito da equação original em termos de z:
\frac{z}{y^{2}} = \frac{y\,\varphi\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)}{y^{2}} = \frac{1}{y}\,\varphi\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).
Comparando com o resultado do Passo 6 vemos que os dois lados coincidem.

Passo 8

Conclusão: a igualdade
\frac{1}{x}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{y}\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z}{y^{2}}
é satisfeita pela função z = y\,\varphi\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).

Resposta

\frac{1}{x}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{y}\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{y}\varphi\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)=\frac{z}{y^{2}}

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