Demonstrar que a função
satisfaz à equação diferencial:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para demonstrar que ela satisfaz a equação
Informações relevantes fornecidas:
-
é uma função de uma variável (assumimos diferenciável o bastante para calcular derivadas). - A variável independente é o par
e depende de e através de multiplicando de . - Precisamos calcular as derivadas parciais
e , substituir na expressão à esquerda e mostrar que ela é igual à expressão da direita.
Passo 2
Vamos simplificar a escrita definindo a variável auxiliar
Assim podemos escrever
Explicação rápida das ferramentas que vamos usar:
- Regra do produto: se
então . - Regra da cadeia: se
, então . Aqui é a derivada de em relação ao seu argumento .
Passo 3
Calculemos
.
Usando e a regra do produto, tratando
como constante quando derivamos em relação a
:
Usando
Agora aplicamos a regra da cadeia para
:
Como
, temos
. Portanto,
Passo 4
Calculemos
.
Usando novamente e a regra do produto:
Usando novamente
Aplicamos a regra da cadeia para
:
Como
, temos
. Assim
Passo 5
Agora montamos a combinação que aparece na equação:
Substituindo as derivadas que achamos nos Passos 3 e 4:
onde, para brevidade,
representa
e
representa
.
Passo 6
Simplificamos a expressão do Passo 5 passo a passo:
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando os dois termos:
Portanto encontramos
Passo 7
Finalmente, escrevemos o lado direito da equação original em termos de
:
Comparando com o resultado do Passo 6 vemos que os dois lados coincidem.
Passo 8
Conclusão: a igualdade
é satisfeita pela função
.