Integral por substituição simples
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{3}}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{3}}}\,dx.
Informações dadas: a expressão integranda é \dfrac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{3}}}. Não há limites (é uma integral indefinida), então devemos encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{3}}}. O que é preciso devolver é uma expressão para essa primitiva, mais a constante de integração \(C).

Passo 2

Observação estratégica (ideia da substituição): dentro da raiz aparece 1+x^{3}. A derivada de x^{3} é 3x^{2}, que é proporcional ao numerador x^{2}. Isso é um sinal clássico de que a substituição simples u=1+x^{3} funciona bem, porque vai transformar o termo x^{2}\,dx numa constante vezes du. Vamos fazer exatamente isso.

Passo 3

Faço a substituição \;u=1+x^{3}. Agora derivamos ambos os lados em relação a x:
du = 3x^{2}\,dx.
Isolando x^{2}\,dx obtemos
x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.
Substituo na integral original: a raiz \sqrt{1+x^{3}} vira \sqrt{u} e x^{2}\,dx vira \dfrac{du}{3}. Assim
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{3}}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{3}.

Passo 4

Simplifico constantes e escrevo a raiz como potência. Fatorando \dfrac{1}{3} para fora:
\int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{-1/2}\,du.
Mini-aula rápida: a regra de potência para integrais diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui temos n=-\tfrac{1}{2}, que não é -1, então podemos aplicar a fórmula.

Passo 5

Aplicando a regra de potência com n=-\tfrac{1}{2}:
\frac{1}{3}\int u^{-1/2}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{1/2}}{1/2} + C.
Como \dfrac{1}{1/2}=2, isso fica
\frac{1}{3}\cdot 2\,u^{1/2} + C = \frac{2}{3}u^{1/2} + C.

Passo 6

Volto à variável original substituindo u=1+x^{3}:
\frac{2}{3}u^{1/2} + C = \frac{2}{3}\sqrt{1+x^{3}} + C.
Comentário sobre domínio: a expressão da primitiva é válida em qualquer intervalo onde a integranda \dfrac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{3}}} esteja definida e contínua (ou seja, onde 1+x^{3}>0 ou onde tratemos sinal de raiz com cuidado). Para provas é suficiente apresentar a primitiva acima, lembrando a constante C.

Passo 7

Verificação rápida (checagem por diferenciação): calcule a derivada de \dfrac{2}{3}\sqrt{1+x^{3}}.
Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}(1+x^{3})^{1/2}\right) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(1+x^{3})^{-1/2}\cdot 3x^{2} = \frac{3x^{2}}{3}\cdot(1+x^{3})^{-1/2} = \frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{3}}}.
Isso confirma que a primitiva encontrada está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{1+x^{3}}+C

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