Integral por substituição simples
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas: a expressão integranda é
. Não há limites (é uma integral indefinida), então devemos encontrar uma primitiva
tal que
. O que é preciso devolver é uma expressão para essa primitiva, mais a constante de integração
).
Passo 2
Observação estratégica (ideia da substituição): dentro da raiz aparece
. A derivada de
é
, que é proporcional ao numerador
. Isso é um sinal clássico de que a substituição simples
funciona bem, porque vai transformar o termo
numa constante vezes
. Vamos fazer exatamente isso.
Passo 3
Faço a substituição
Agora derivamos ambos os lados em relação a
:
Isolando
obtemos
Substituo na integral original: a raiz
vira
e
vira
. Assim
Passo 4
Simplifico constantes e escrevo a raiz como potência. Fatorando
para fora:
Mini-aula rápida: a regra de potência para integrais diz que, para
,
Aqui temos
, que não é
, então podemos aplicar a fórmula.
Passo 5
Aplicando a regra de potência com
:
Como
, isso fica
Passo 6
Volto à variável original substituindo
:
Comentário sobre domínio: a expressão da primitiva é válida em qualquer intervalo onde a integranda
esteja definida e contínua (ou seja, onde
ou onde tratemos sinal de raiz com cuidado). Para provas é suficiente apresentar a primitiva acima, lembrando a constante
.
Passo 7
Verificação rápida (checagem por diferenciação): calcule a derivada de
.
Usando a regra da cadeia,
Usando a regra da cadeia,
Isso confirma que a primitiva encontrada está correta.