Nestas condições, mostre o que se pede:
(a) Existem as derivadas direcionais (\partial f / \partial v) em todos os pontos de \mathbb{R}^{2}, segundo qualquer vetor v=(\alpha, \beta);
(b) Em particular, determine (\partial f / \partial v)(0,0);
(c) Mostre que f é descontínua na origem (0,0).
Passo 1
O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por
\[f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{3}y}{x^{6}+y^{2}}, & \text{se }x^{2}+y^{2}\neq 0,\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
As perguntas são:
(a) provar que existem as derivadas direcionais \dfrac{\partial f}{\partial v}\] em todos os pontos de \(\mathbb{R}^2, para qualquer vetor v=(\alpha,\beta);\n
(b) em particular, calcular \dfrac{\partial f}{\partial v}(0,0);\n
(c) mostrar que f é descontínua na origem (0,0).]
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar e entender bem o que é derivada direcional. Para um ponto fixo (x_0,y_0) e um vetor direção v=(\alpha,\beta), a derivada direcional de f em (x_0,y_0) na direção v é, por definição,
quando esse limite existe. Intuitivamente é a taxa de variação de f ao mover-se a partir de (x_0,y_0) na reta na direção v. Se a função for diferenciável (no sentido usual) em (x_0,y_0), então todas as derivadas direcionais existem e são dadas pelo produto escalar do gradiente com v. Vou usar isso para os pontos fora da origem.
Passo 3
Existência das derivadas direcionais em pontos (x_0,y_0)\neq(0,0).
Observe que, para (x,y)\neq(0,0), a função pode ser escrita como quociente de funções polinomiais:
As funções g e h são polinômios (logo infinitamente diferenciáveis). Em qualquer ponto (x_0,y_0) tal que h(x_0,y_0)\neq 0 — isto é, qualquer ponto com (x_0,y_0)\neq(0,0) — o denominador é diferente de zero. Nessa situação, o quociente de duas funções diferenciáveis com denominador não nulo é diferenciável (é uma regra padrão: divisão de funções diferenciáveis preserva diferenciabilidade onde o denominador não se anula). Portanto f é diferenciável em todo ponto (x_0,y_0)\neq(0,0). Como consequência direta, todas as derivadas direcionais \dfrac{\partial f}{\partial v}(x_0,y_0) existem para todo vetor v=(\alpha,\beta) nesses pontos. (Se quiser, na prova de prova: diferenciabilidade implica existência de derivadas parciais e, a partir delas, de derivadas direcionais via produto escalar com v.)
Passo 4
Existência e cálculo da derivada direcional no ponto (0,0).
Aqui não podemos usar a razão acima porque h(0,0)=0. Então aplicamos a definição diretamente em (0,0). Para v=(\alpha,\beta) fixo consideramos
Caso \beta\neq 0: o denominador t^4\alpha^6+\beta^2 tende para \beta^2\neq 0 quando t\to 0. O numerador t\alpha^3\beta tende para 0. Logo a fração tende para 0. Assim o limite é 0.
Caso \beta=0 (direção paralela ao eixo x): então v=(\alpha,0). Nesse caso f(t\alpha,t\cdot 0)=0 para todo t porque o fator \beta anula o numerador x^3y. Então \dfrac{f(t\alpha,0)}{t}=0 para todo t\neq 0 e o limite é 0.
Caso v=(0,0) (vetor nulo): normalmente a derivada direcional é definida para vetores não nulos, mas se calcularmos a razão com v=0 temos f(x_0+ t\cdot 0)-f(x_0)=0 e a razão é 0; faz sentido atribuir 0.
Portanto, para qualquer vetor v=(\alpha,\beta) a derivada direcional em (0,0) existe e vale 0.
Passo 5
Conclusão sobre continuidade em (0,0): mostrar que f é descontínua na origem.
Para testar continuidade na origem, verificamos se \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e é igual a f(0,0)=0. Uma maneira simples é seguir diferentes caminhos até a origem e ver se o limite é o mesmo. Tome a curva y=x^3. Essa curva passa pela origem e tende à origem quando x\to 0. Substituindo y=x^3 (isto é, o par (x,x^3)) na expressão de f para x\neq 0:
Portanto, para toda sequência de pontos (x,x^3) com x\neq 0 tendendo a 0, temos f(x,x^3)\to \tfrac{1}{2}. Ou seja,
\lim_{(x,y)\to(0,0)\text{ ao longo de }y=x^3} f(x,y)=\frac{1}{2}\neq 0=f(0,0).
Como o limite ao longo dessa curva não é igual a f(0,0), a função não é contínua na origem. (Explicação curta: para continuação em (0,0) o limite teria que ser o mesmo para qualquer caminho; aqui achamos um caminho com limite diferente.)
Resposta
(a) Sim: as derivadas direcionais \dfrac{\partial f}{\partial v} existem em todo ponto de \mathbb{R}^2 para qualquer v=(\alpha,\beta).\n
(b) \dfrac{\partial f}{\partial v}(0,0)=0 para qualquer v=(\alpha,\beta).\n
(c) f é descontínua em (0,0) (por exemplo, ao longo de y=x^3 temos f(x,x^3)\equiv \tfrac{1}{2}, logo o limite não é 0).