Demonstrar que a função
z=x y+x e^{\frac{y}{x}}
saqtisfaz à equação diferencial:
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=x y+z

Passo 1

O enunciado dá a função z = x y + x e^{\frac{y}{x}}
e pede para demonstrar que ela satisfaz a equação diferencial
x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = x y + z.
Informações relevantes: a função é z(x,y) definida para x\neq0 (porque aparece \frac{y}{x}); precisamos calcular as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} e substituir na expressão à esquerda para verificar se ela coincide com o lado direito.

Passo 2

Vamos calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}. Lembre-se: ao derivar em relação a x trata-se y como constante. Usaremos duas regras:
  • Regra do produto: \displaystyle \frac{d}{dx}(u\cdot v)=u'\,v+u\,v'.
  • Regra da cadeia: \displaystyle \frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aplicando em z = x y + x e^{\frac{y}{x}}:
a derivada de x y em relação a x é y (porque y é constante).
Para x e^{\frac{y}{x}} aplicamos produto:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(x e^{\frac{y}{x}}\right) = 1\cdot e^{\frac{y}{x}} + x\cdot \frac{\partial}{\partial x}\!\left(e^{\frac{y}{x}}\right).
Pela cadeia, \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\!\left(e^{\frac{y}{x}}\right)=e^{\frac{y}{x}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{y}{x}\right).
Como y é constante, \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{y}{x}\right)=y\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\right)=y\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=-\frac{y}{x^{2}}.
Logo
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(x e^{\frac{y}{x}}\right) = e^{\frac{y}{x}} + x\cdot e^{\frac{y}{x}}\left(-\frac{y}{x^{2}}\right) = e^{\frac{y}{x}} - \frac{y}{x}e^{\frac{y}{x}}.
Somando com a derivada de x y, obtemos
\frac{\partial z}{\partial x}=y + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y}{x}e^{\frac{y}{x}}.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}. Ao derivar em relação a y tratamos x como constante.
Derivada de x y em relação a y é x.
Para x e^{\frac{y}{x}} temos x constante multiplicando a derivada de e^{\frac{y}{x}} em relação a y. Pela cadeia,
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(e^{\frac{y}{x}}\right)=e^{\frac{y}{x}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{x}\right) = e^{\frac{y}{x}}\cdot\frac{1}{x}.
Multiplicando por x x\cdot e^{\frac{y}{x}}\cdot\frac{1}{x}=e^{\frac{y}{x}}.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=x + e^{\frac{y}{x}}.

Passo 4

Substituímos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} na expressão x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}:
x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y} = x\left(y + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y}{x}e^{\frac{y}{x}}\right) + y\left(x + e^{\frac{y}{x}}\right).

Passo 5

Fazemos a distribuição e simplificação termo a termo:
\begin{aligned} x\left(y + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y}{x}e^{\frac{y}{x}}\right) &= xy + x e^{\frac{y}{x}} - y e^{\frac{y}{x}},\\[4pt] y\left(x + e^{\frac{y}{x}}\right) &= xy + y e^{\frac{y}{x}}. \end{aligned}
Somando:
xy + x e^{\frac{y}{x}} - y e^{\frac{y}{x}} + xy + y e^{\frac{y}{x}} = 2xy + x e^{\frac{y}{x}}.
Observe que os termos -y e^{\frac{y}{x}} e +y e^{\frac{y}{x}} se cancelam.]

Passo 6

Calculamos o lado direito x y + z. Como z = x y + x e^{\frac{y}{x}}, temos
x y + z = x y + \bigl(x y + x e^{\frac{y}{x}}\bigr) = 2xy + x e^{\frac{y}{x}}.
Comparando com o resultado do lado esquerdo, vemos que ambos são iguais:
x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=2xy + x e^{\frac{y}{x}}=x y + z.
Portanto a igualdade pedida é satisfeita.

Resposta

x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=2xy + x e^{\frac{y}{x}}=x y+z

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