Demonstrar que a função
saqtisfaz à equação diferencial:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para demonstrar que ela satisfaz a equação diferencial
Informações relevantes: a função é
definida para
(porque aparece
); precisamos calcular as derivadas parciais
e
e substituir na expressão à esquerda para verificar se ela coincide com o lado direito.
Passo 2
Vamos calcular
. Lembre-se: ao derivar em relação a
trata-se
como constante. Usaremos duas regras:
- Regra do produto:
. - Regra da cadeia:
.
Aplicando em
:
a derivada de em relação a
é
(porque
é constante).
Para aplicamos produto:
a derivada de
Para
Pela cadeia,
.
Como é constante,
.
Logo
Como
Logo
Somando com a derivada de
, obtemos
Passo 3
Agora calculamos
. Ao derivar em relação a
tratamos
como constante.
Derivada de
em relação a
é
.
Para temos
constante multiplicando a derivada de
em relação a
. Pela cadeia,
Para
Multiplicando por
dá
.
Portanto
Portanto
Passo 4
Substituímos
e
na expressão
:
Passo 5
Fazemos a distribuição e simplificação termo a termo:
Somando:
Observe que os termos
e
se cancelam.]
Passo 6
Calculamos o lado direito
. Como
, temos
Comparando com o resultado do lado esquerdo, vemos que ambos são iguais:
Portanto a igualdade pedida é satisfeita.