Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(\cos x) y^{\prime}(\operatorname{sen} x) y=1, y(2 \pi)=\pi

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
\cos x\, y' + \sin x\, y = 1,
com a condição inicial
y(2\pi)=\pi.
Informações relevantes extraídas: a função trigonométrica \cos x aparece multiplicando y', por isso devemos tomar cuidado ao dividir por \cos x (só é permitido em intervalos onde \cos x\neq0). O ponto inicial x=2\pi tem \cos(2\pi)=1\neq0, então há um intervalo em torno de 2\pi onde podemos dividir por \cos x sem problemas.

Passo 2

Vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, dividindo por \cos x (válido perto de x=2\pi):
y' + \tan x \; y = \operatorname{sec} x.
Aqui usei as identidades \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x}. Essa forma y' + P(x)y = Q(x) é útil porque permite usar o fator integrante.

Passo 3

Recordando a ideia do fator integrante: para uma equação na forma
y' + P(x)y = Q(x),
um fator integrante \mu(x) satisfaz \mu'(x)=P(x)\mu(x). Escolhendo \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx} garante que, ao multiplicar a equação por \mu, o lado esquerdo se torna a derivada de \mu y:
(\mu y)' = \mu Q.
Vamos aplicar isso com P(x)=\tan x.

Passo 4

Calcule o fator integrante:
\int \tan x \,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx.
Fazendo a substituição u=\cos x, du=-\sin x\,dx, obtemos \int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|. Assim
\mu(x)=e^{\int \tan x\,dx}=e^{-\ln|\cos x|}=\frac{1}{|\cos x|}.
Como estamos interessados num intervalo contendo x=2\pi onde \cos x>0, podemos tomar
\mu(x)=\operatorname{sec} x.

Passo 5

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=\operatorname{sec} x:
\operatorname{sec} x\,y' + \operatorname{sec} x\tan x\,y = \operatorname{sec}^2 x.
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \operatorname{sec} x\cdot y, porque (\operatorname{sec} x)'=\operatorname{sec} x\tan x. Logo
(\operatorname{sec} x \, y)' = \operatorname{sec}^2 x.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
\operatorname{sec} x \, y = \int \operatorname{sec}^2 x\,dx = \tan x + C,
onde C é a constante de integração. Agora isolamos y:
y = \frac{\tan x + C}{\operatorname{sec} x}.
Simplificando usando \dfrac{\tan x}{\operatorname{sec} x}=\sin x e \dfrac{C}{\operatorname{sec} x}=C\cos x, obtém-se
y = \sin x + C\cos x.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(2\pi)=\pi. Calculamos \sin(2\pi)=0 e \cos(2\pi)=1. Substituindo em y=\sin x + C\cos x:
\pi = 0 + C\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad C=\pi.

Passo 8

Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\sin x + \pi\cos x,
válida em qualquer intervalo onde \cos x\neq0 que contenha x=2\pi (por exemplo, um intervalo pequeno ao redor de 2\pi).

Resposta

y(x)=\sin x+\pi\cos x

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