Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
com a condição inicial
Informações relevantes extraídas: a função trigonométrica
aparece multiplicando
, por isso devemos tomar cuidado ao dividir por
(só é permitido em intervalos onde
). O ponto inicial
tem
, então há um intervalo em torno de
onde podemos dividir por
sem problemas.
Passo 2
Vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, dividindo por
(válido perto de
):
Aqui usei as identidades
e
. Essa forma
é útil porque permite usar o fator integrante.
Passo 3
Recordando a ideia do fator integrante: para uma equação na forma
um fator integrante
satisfaz
. Escolhendo
garante que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada de
:
Vamos aplicar isso com
.
Passo 4
Calcule o fator integrante:
Fazendo a substituição
,
, obtemos
Assim
Como estamos interessados num intervalo contendo
onde
, podemos tomar
Passo 5
Multiplicamos a equação padrão por
:
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque
. Logo
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora isolamos
:
Simplificando usando
e
, obtém-se
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
. Calculamos
e
. Substituindo em
:
Passo 8
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
válida em qualquer intervalo onde
que contenha
(por exemplo, um intervalo pequeno ao redor de
).