Achar a derivada implicita de
, e simplificar o resultado.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada implícita de
e simplificar o resultado. Isso envolve derivadas de funções compostas, aplicação da regra da cadeia e da derivada implícita.
Passo 2
Derivamos ambos os lados em relação a
. Para o lado esquerdo, definimos
e usamos
.
Calculamos . Então
[\frac d{dx}\bigl(\arctan(\tfrac yx)\bigr)=\frac{\tfrac{x,y’-y}{x^2}}{1+(\tfrac yx)2}]=\frac{x,y’-y}{x2\bigl(1+\tfrac{y2}{x2}\bigr)}=\frac{x,y’-y}{x2+y2}.
Calculamos
[\frac d{dx}\bigl(\arctan(\tfrac yx)\bigr)=\frac{\tfrac{x,y’-y}{x^2}}{1+(\tfrac yx)2}]=\frac{x,y’-y}{x2\bigl(1+\tfrac{y2}{x2}\bigr)}=\frac{x,y’-y}{x2+y2}.
Passo 3
Para o lado direito,
[\frac d{dx}\Bigl(\tfrac12\ln(x2+y2)\Bigr)=\tfrac12\cdot\frac{2x+2y,y
[\frac d{dx}\Bigl(\tfrac12\ln(x2+y2)\Bigr)=\tfrac12\cdot\frac{2x+2y,y
Passo 4
x2+y2}=\frac{x+y,y
Passo 5
x2+y2}].
Passo 6
Igualando as derivadas e cancelando o denominador comum
, obtemos:
[x,y’
[x,y’
Passo 7
y = x + y,y’].
Passo 8
Reagrupando os termos com
:
[x,y’ - y,y’ = x + y]
[x,y’ - y,y’ = x + y]
Passo 9
fatorando
:
[y’(x-y)=x+y]
[y’(x-y)=x+y]
Passo 10
e isolando
:
[y’=\frac{x+y}{x-y}].
[y’=\frac{x+y}{x-y}].