Achar a derivada implicita de arctg yx=12 ln (x^2+y^2), e simplificar o resultado.
x+yx-y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada implícita de arctanl(tfrac yxr)=tfrac12ln(x^2+y^2) e simplificar o resultado. Isso envolve derivadas de funções compostas, aplicação da regra da cadeia e da derivada implícita.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. Para o lado esquerdo, definimos u=tfrac yx e usamos tfrac ddx[arctan u]=tfracu'1+u^2.
Calculamos u'=tfrac ddx(y/x)=tfracx,y'-yx^2. Então
[\frac d{dx}\bigl(\arctan(\tfrac yx)\bigr)=\frac{\tfrac{x,y’-y}{x^2}}{1+(\tfrac yx)2}]=\frac{x,y’-y}{x2\bigl(1+\tfrac{y2}{x2}\bigr)}=\frac{x,y’-y}{x2+y2}.

Passo 3

Para o lado direito,
[\frac d{dx}\Bigl(\tfrac12\ln(x2+y2)\Bigr)=\tfrac12\cdot\frac{2x+2y,y

Passo 4

x2+y2}=\frac{x+y,y

Passo 5

x2+y2}].

Passo 6

Igualando as derivadas e cancelando o denominador comum x^2+y^2, obtemos:
[x,y’

Passo 7

y = x + y,y’].

Passo 8

Reagrupando os termos com y':
[x,y’ - y,y’ = x + y]

Passo 9

fatorando y':
[y’(x-y)=x+y]

Passo 10

e isolando y':
[y’=\frac{x+y}{x-y}].

Resposta

x+yx-y

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