Nome do Aluno(a): Mateus Amerum Silva (GEL)
[2,0 pontos] (1) Considere a função f(x, y)=-3 x^4+24 x^2-6 y^3+18 y-7. Encontre todos os pontos críticos e classifique-os.

Passo 1

A função é f(x,y) = -3x^4 + 24x^2 - 6y^3 + 18y - 7. O conteúdo aqui é encontrar pontos críticos em funções de duas variáveis e classificá-los usando o teste da segunda derivada. Vamos precisar calcular as derivadas parciais, resolver nabla f = 0 e depois usar o determinante da Hessiana.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais e encontre onde elas se anulam. Temos
fx = partial fpartial x = -12x^3 + 48x = -12x(x^2 - 4),
fy = partial fpartial y = -18y^2 + 18 = -18(y^2 - 1)
Igualando a zero obtemos as equações
-12x(x^2 - 4) = 0 implies x = 0, pm2,
-18(y^2 - 1) = 0 implies y = pm1
Logo há seis pontos críticos: combinando xin-2,0,2 com yin-1,1.

Passo 3

Calcule as segundas derivadas para montar a Hessiana.
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -36x^2 + 48,
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -36y,
fxy = fyx = 0

Passo 4

Formule o teste da segunda derivada usando o determinante
D = fxx,fyy - (fxy)^2 = fxx,fyy
A classificação é:
– se D>0 e fxx>0, temos mínimo local;
– se D>0 e fxx<0, temos máximo local;
– se D<0, temos ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos e suas classificações são:
(-2, -1): ponto de sela
(-2, 1): máximo local
( 0, -1): mínimo local
( 0, 1): ponto de sela
( 2, -1): ponto de sela
( 2, 1): máximo local

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