Encontre a série infinita com a sequencia de somas parciais dada, determine se a serie converge ou diverge, se convergir encontre sua soma
;
Passo 1
Temos uma sequência de somas parciais definida por
. O objetivo é encontrar a série cujos termos
geram esses
, verificar se a série converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. Vamos usar conceitos de séries numéricas, em particular a relação entre termo geral e soma parcial.
Passo 2
Para descobrir o termo geral
de uma série, usamos a relação
, já que
. Note que definimos
.
Passo 3
Calculando
: Para
temos
Passo 4
Para
diretamente
. Portanto, o único termo não nulo vem de
, com
.
Passo 5
A série fica então
Passo 6
que é uma série geométrica de razão
. Pelo critério da série geométrica, como
, ela converge e sua soma é dada por
.
Passo 7
Aplicando a fórmula da soma de série geométrica iniciando em
:
Resposta
A série é
(equivalente a
), ela converge e sua soma vale
.