Encontre a série infinita com a sequencia de somas parciais dada, determine se a serie converge ou diverge, se convergir encontre sua soma
sn=1-12^n-1;

Passo 1

Temos uma sequência de somas parciais definida por sn = 1 - 12^n-1. O objetivo é encontrar a série cujos termos an geram esses sn, verificar se a série converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. Vamos usar conceitos de séries numéricas, em particular a relação entre termo geral e soma parcial.

Passo 2

Para descobrir o termo geral an de uma série, usamos a relação an = sn - sn-1, já que sn = sumk=1^n ak. Note que definimos s0 = 0.

Passo 3

Calculando an: Para n>=2 temos
an = sn - sn-1 = l(1 - 12^n-1r) - l(1 - 12^n-2r) = 12^n-2 - 12^n-1 = 12^n-1

Passo 4

Para n=1 diretamente a1 = s1 - s0 = s1 = 1 - tfrac12^0 = 0. Portanto, o único termo não nulo vem de n>=2, com an = 1/2^n-1.

Passo 5

A série fica então
sumn=1^infty an = sumn=2^infty 12^n-1 = sumk=1^infty 12^k,

Passo 6

que é uma série geométrica de razão r=1/2. Pelo critério da série geométrica, como |r|<1, ela converge e sua soma é dada por r/(1-r).

Passo 7

Aplicando a fórmula da soma de série geométrica iniciando em k=1:
sumk=1^infty 12^k = tfrac121 - tfrac12 = 1

Resposta

A série é sumn=2^infty 12^n-1 (equivalente a sumk=1^infty tfrac12^k), ela converge e sua soma vale 1.

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