Encontre o termo inicial a e a razão r de cada série geométrica, determine se a série converge ou diverge e caso convirja encontre sua soma
sumn=1^infty 3^n-14^n+1;

Passo 1

O enunciado pede para achar o termo inicial a e a razão r da série geométrica infinita. Conteúdo: séries geométricas infinitas. Vamos precisar reescrever o termo geral na forma ar^{n-1}, verificar se |r|<1 (condição de convergência) e, se convergir, usar a fórmula da soma S= a/(1–r)

Passo 2

Primeiro, tome o termo geral
3^n-14^n+1
e observe que dá para separar 4^{n+1} em 4{n-1}·42. Então
3^n-14^n+1=3^n-14^n-1cdot4^2=14^2(34)^n-1=116(34)^n-1
Logo o termo inicial é a=1/16 e a razão é r=3/4

Passo 3

Para saber se converge, basta ver que |r|=3/4<1, então a série converge. Como converge, aplicamos a fórmula da soma:
S=a1-r
Substituindo a=1/16 e r=3/4:
S=tfrac1161-tfrac34=tfrac116tfrac14=116cdot4=14

Resposta

a=\tfrac{1}{16}, r=\tfrac{3}{4}; a série converge e sua soma é 1/4

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