Achar z=z(x, y), se
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}} .

Passo 1

O enunciado pede encontrar uma função z(x,y) cuja derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo necessário é integrar essa expressão em relação a y, tratando x como constante, e depois adicionar a “constante” de integração, que neste caso pode depender de x.

Passo 2

Integramos em y:
z(x,y)=\int \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy.
Como x é constante, escrevemos
z(x,y)=x\int \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\,dy =x\cdot\frac{1}{x}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) =\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).

Passo 3

Ao integrar uma derivada parcial em y, acrescentamos uma função arbitrária de x, digamos f(x). Logo, a solução geral é
z(x,y)=\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)+f(x).

Resposta

z(x,y)=\arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)+f(x),
onde f é função arbitrária de x.

Exercícios relacionados