Desenvolver como série de Taylor, quando possível escreva na forma reduzida :
F(x)=x \ln (1+2 x)

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver em série de Taylor, em torno de x=0, a função
F(x)=x\ln(1+2x).
O conteúdo envolve a expansão em série de Taylor (ou Maclaurin) para \ln(1+u), válida para \lvert u\rvert<1.

Passo 2

Lembramos que, para \lvert u\rvert<1,
\ln(1+u)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{u^n}{n}.
Aqui vamos usar u=2x, o que exige \lvert 2x\rvert<1, ou seja \lvert x\rvert<\tfrac12.

Passo 3

Substituindo u=2x na série de \ln(1+u), obtemos
\ln(1+2x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{(2x)^n}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{2^n}{n}\;x^n.

Passo 4

Multiplicamos agora por x para obter F(x)=x\ln(1+2x):
F(x)=x\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{2^n}{n}\;x^n =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{2^n}{n}\;x^{n+1}.

Passo 5

Para escrever na forma reduzida, trocamos o índice definindo m=n+1. Assim n=m-1 e m vai de 2 a \infty. Ficamos com
F(x)=\sum_{m=2}^{\infty}(-1)^{m-2}\,\frac{2^{\,m-1}}{m-1}\;x^m.
Em particular, os primeiros termos são
F(x)=2x^2 -2x^3 +\tfrac{8}{3}x^4 -4x^5+\cdots.

Resposta

F(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{2^n}{n}\;x^{n+1} \quad\bigl(\lvert x\rvert<\tfrac12\bigr),
ou, na forma reduzida,
F(x)=\sum_{m=2}^{\infty}(-1)^{m-2}\,\frac{2^{\,m-1}}{m-1}\;x^m.

Exercícios relacionados