Questão 2: (vlr. ) Utilize desenvolvimento em série de potencias para determinar o que se pede:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{1-\cos x}

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{1-\cos x}
usando desenvolvimento em série de potências. Vamos usar as séries de Taylor de \ln(1+u) e de \cos x em torno de zero.

Passo 2

Expandir \ln(1+x^2). Sabemos que
\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+O(u^3)
para u pequeno. Tomando u=x^2, obtemos
\ln(1+x^2)=x^2-\frac{x^4}{2}+O(x^6).

Passo 3

Expandir 1-\cos x. A série de Taylor de \cos x ao redor de zero é
\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6).
Logo
1-\cos x=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+O(x^6).

Passo 4

Formar a razão entre as séries e fatorar x^2:
\frac{\ln(1+x^2)}{1-\cos x} =\frac{x^2\bigl(1-\tfrac{x^2}{2}+O(x^4)\bigr)}{x^2\bigl(\tfrac12-\tfrac{x^2}{24}+O(x^4)\bigr)} =\frac{1-\tfrac{x^2}{2}+O(x^4)}{\tfrac12-\tfrac{x^2}{24}+O(x^4)}.
Quando x\to0, os termos de ordem superior somem, ficando \tfrac{1}{1/2}=2.

Resposta

2

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