ACHAR (DETERMINAR) E REPRESENTAR GRAFICAMENTE O DOMÍNIO DAS FUNÇÕES ABAIXO INDICADAS NOS ITENS a), c) e e).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos achar e desenhar o domínio da função $ z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} $. Isso envolve trabalhar com funções de várias variáveis e verificar onde a expressão dentro da raiz é válida.
Passo 2
Para a função $ z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} $ estar definida, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero. Portanto, temos a condição:
Passo 3
Vamos rearranjar a inequação para facilitar a visualização:
Isso significa que os valores de $ x $ e $ y $ devem satisfazer essa condição para que $ z $ seja um número real.
Passo 4
Geometricamente, a desigualdade $ x^{2} + y^{2} \leq 1 $ representa um círculo de raio 1 no plano $ xy $, incluindo todos os pontos dentro e na borda desse círculo.
Passo 5
Então, o domínio da função é o conjunto de todos os pontos $ (x, y, z) $ onde $ x $ e $ y $ estão dentro do círculo de raio 1 e $ z $ é a raiz quadrada correspondente, ou seja, $ z \geq 0 $.
Passo 6
Para representar graficamente, imagine a parte superior de uma esfera de raio 1 centrada na origem. O domínio é a projeção desse semiesfera no plano $ xy $, formando o círculo mencionado.
Resposta
O domínio da função $ z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} $ é o conjunto de todos os pontos $ (x, y, z) $ onde $ x^{2} + y^{2} \leq 1 $. Graficamente, isso corresponde ao interior e à borda de um círculo de raio 1 no plano $ xy $, representando a parte superior de uma esfera de raio 1.