Achar a distância do ponto P ao plano pi nos casos:
ll P(1,3,-6) & pi: 4 x-y+z+5=0 P(0,0,0) & pi: 3 x-4 y+20=0 P(1,1,1) & pi:l x=2+2 h+3 t y=-1+h+t z=2-h

Passo 1

O enunciado pede a distância de um ponto P a um plano pi em três casos diferentes. O conteúdo é geometria analítica no espaço e vamos usar a fórmula de distância ponto-plano:
d = l|a x0 + b y0 + c z0 + dr|raiza^2 + b^2 + c^2
No terceiro caso o plano está em forma paramétrica, então extraímos um ponto do plano e dois vetores diretores, calculamos o normal por produto vetorial e aplicamos a mesma fórmula.

Passo 2

Caso (a): P(1,3,-6) e picolon 4x - y + z + 5 = 0.
Aqui a=4, b=-1, c=1, d=5. Calculamos
|4cdot1 + (-1)cdot3 + 1cdot(-6) + 5| = |4 - 3 - 6 + 5| = |0| = 0
Como raiz4^2+(-1)^2+1^2= raiz18neq0, a distância é
d = 0raiz18 = 0,
logo o ponto pertence ao plano.

Passo 3

Caso (b): P(0,0,0) e picolon 3x - 4y + 20 = 0.
Aqui a=3, b=-4, c=0, d=20. Avaliamos
|3cdot0 + (-4)cdot0 + 0cdot0 + 20| = |20| = 20,
e raiz3^2+(-4)^2+0^2=5. Assim
d = 205 = 4

Passo 4

Caso (c):
Escolhemos o ponto ) e vetores diretores
(variação de ) e (variação de ).
O normal é
A equação do plano fica , i.e.
Aqui , , , . Então
e . Logo

Resposta

(a) d=0
(b) d=4
(c) d=6raiz11

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