Achar a distância da reta r ao plano pi nos casos:
l r: x=4+3 t r:l x=3 y=4 pi: x+y-12=0

Passo 1

O enunciado pede a distância da reta r ao plano pi em dois casos distintos, usando como ferramenta básica o vetor normal n do plano e o vetor diretor v da reta. Se a reta for paralela ao plano, a distância é
d = l|ncdotl(P0-Q0r)r||n|,
onde P0 é um ponto em r e Q0 é um ponto qualquer no plano.

Passo 2

Caso (a): rcolon x=4+3t.
Para descrever totalmente uma reta em R^3 precisamos das três coordenadas em função de t (ou equivalente). Aqui está faltando a expressão de y(t) e de z(t), portanto não há como obter nem o vetor diretor v nem um ponto P0 completo.

Passo 3

Conclusão do caso (a): não é possível calcular a distância porque a reta não está totalmente especificada (faltam as funções de y e z).

Passo 4

Caso (b):
r: x=3, y=4, pi: x+y-12=0
Aqui r é a interseção dos planos x=3 e y=4, logo o vetor diretor de r é
v=(0,0,1)
(eixo z). O vetor normal do plano pi é
n=(1,1,0)

Passo 5

Verificamos que vcdotn=0, ou seja, r é paralelo a pi. Tomamos um ponto em r, por exemplo
P0=(3,4,0),
e aplicamos
d = l|ncdot P0 -12r||n| = l|1cdot3 +1cdot4 -12r|raiz1^2+1^2 = lvert 7 -12rvertraiz2 = 5raiz2

Resposta

(a) Não é possível determinar a distância por falta de definição completa da reta.
(b) 5raiz2.

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