Achar a distância do ponto à reta nos casos:

Passo 1

O enunciado pede a distância de um ponto P até uma reta r no espaço em três casos. O conteúdo usado será a fórmula da distância ponto–reta via produto vetorial: se v é o vetor diretor de r e A é um ponto qualquer em r, então, para P dado,
d = l|APtimesvr||v|

Passo 2

Caso 1: P(2,3,-1), reta rcolon x=3+t,;y=-2t,;z=1-2t.
Escolho A=(3,0,1) em t=0 e vetor diretor v=(1,-2,-2).
Então
AP = (2-3,;3-0,;-1-1)=(-1,3,-2)
Calculo o produto vetorial:
APtimesv = i & j & k -1 & 3 & -2 1 & -2 & -2 =(-10,,-4,,-1),
logo
|APtimesv|=raiz(-10)^2+(-4)^2+(-1)^2=raiz117
e |v|=raiz1^2+(-2)^2+(-2)^2=3.
Portanto
d1=raiz1173=raiz13

Passo 3

Caso 2: P(1,-1,0), reta rcolon x=2-t,;y=0,;z=t.
Escolho A=(2,0,0) em t=0 e vetor diretor v=(-1,0,1).
Então
AP = (1-2,;-1-0,;0-0)=(-1,-1,0)
O produto vetorial é
APtimesv = i & j & k -1 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 =(-1,;1,;-1),
logo |APtimesv|=raiz1+1+1=raiz3 e |v|=raiz(-1)^2+0^2+1^2=raiz2.
Assim
d2=raiz3raiz2=raiztfrac32

Passo 4

Caso 3: P(3,2,1), reta definida por y=2x,;z=x+3.
Parametrizo x=t, y=2t, z=t+3.
Escolho A=(0,0,3) em t=0 e vetor diretor v=(1,2,1).
Então
AP=(3-0,;2-0,;1-3)=(3,2,-2)
O produto vetorial é
APtimesv = i & j & k 3 & 2 & -2 1 & 2 & 1 =(6,,-5,,4),
logo |APtimesv|=raiz6^2+(-5)^2+4^2=raiz77+?– cuidado: 36+25+16=77, e |v|=raiz1+4+1=raiz6.
Portanto
d3=raiz77raiz6=raiztfrac776

Resposta

d1=raiz13, d2=raiztfrac32, d3=raiztfrac776.

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