Determine a equação da hipérbole, dados:
Os focos F1(0,5) e F2(0,-5) e a excentricidade igual à 53

Passo 1

O enunciado pede a equação da hipérbole que tem focos F1(0,5) e F2(0,-5) e excentricidade e=tfrac53. O conteúdo envolve geometria analítica de cônicas, em particular a relação entre a distância focal c, o semi-eixo real a e a excentricidade e, além da forma padrão da hipérbole com eixo transverso vertical.

Passo 2

O centro da hipérbole é o ponto médio dos focos. Calculamos
l(tfrac0+02,tfrac5+(-5)2r)=(0,0)
A distância focal c é a distância do centro a cada foco, portanto
c=5

Passo 3

Pela definição de excentricidade em hipérbole, temos
e = ca
Logo
a = ce = 55/3 = 3

Passo 4

O outro semi-eixo b satisfaz
b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16

Passo 5

Como os focos estão sobre o eixo y, o eixo transverso é vertical e a equação padrão é
y^2a^2 ;-;x^2b^2 = 1
Substituindo a^2=9 e b^2=16, obtemos a equação procurada.

Resposta

y^29 ;-;x^216 = 1

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