Exercício 2. Mostre que:
A operação produto/multiplicação em
é comutativa.
A operação produto/multiplicação em
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, em
, vale
isto é, a multiplicação é comutativa. Vamos usar o Princípio de Indução Forte em
e a definição recursiva da multiplicação a partir dos axiomas de Peano.
Passo 2
Definimos a multiplicação em
por recorrência no segundo argumento: para todo
,
onde
é o sucessor de
e
é a soma natural (já sabidamente comutativa).
Passo 3
(Base da indução)
Mostramos que, para todo ,
Mostramos que, para todo
Pela definição,
. E também, trocando os papéis,
. Logo
Passo 4
(Passo indutivo)
Suponha agora que, para um dado , valha
Suponha agora que, para um dado
Precisamos provar então que
Passo 5
Seja
um natural arbitrário. Então, usando a definição de multiplicação e a hipótese indutiva, temos
Assim concluímos que
para todo
.
Passo 6
Pelo Princípio de Indução em
, segue que
Resposta
A multiplicação em
é comutativa.