Exercício 2. Mostre que:
A operação produto/multiplicação em N é comutativa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, em N, vale
forall,m,ninN:;mcdot n = ncdot m,
isto é, a multiplicação é comutativa. Vamos usar o Princípio de Indução Forte em N e a definição recursiva da multiplicação a partir dos axiomas de Peano.

Passo 2

Definimos a multiplicação em N por recorrência no segundo argumento: para todo m,ninN,
mcdot 0 = 0
mcdot S(n) = mcdot n + m
onde S(n) é o sucessor de n e + é a soma natural (já sabidamente comutativa).

Passo 3

(Base da indução)
Mostramos que, para todo minN,
mcdot 0 = 0 = 0cdot m
Pela definição, mcdot 0=0. E também, trocando os papéis, 0cdot m=0. Logo
forall,m:;mcdot 0 = 0cdot m

Passo 4

(Passo indutivo)
Suponha agora que, para um dado ninN, valha
forall,m:;mcdot n = ncdot m
Precisamos provar então que
forall,m:;mcdot S(n) = S(n)cdot m

Passo 5

Seja m um natural arbitrário. Então, usando a definição de multiplicação e a hipótese indutiva, temos
mcdot S(n) = mcdot n + m
= ncdot m + m (por hipótese indutiva) ó
= S(n)cdot m (pela definição de S(n)cdot m) çã
Assim concluímos que
mcdot S(n) = S(n)cdot m
para todo m.

Passo 6

Pelo Princípio de Indução em n, segue que
forall,m,ninN:;mcdot n = ncdot m

Resposta

A multiplicação em N é comutativa.

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