Achar a distância da reta r ao plano \pi :
r:\left\{\begin{array}{l} x=4+3 \lambda, \\\ y=-1+\lambda, \\\ z=\lambda \end{array} \quad \text { e } \pi: x-y-2 z+4=0 . \quad \text { Rpta: } 9 / \sqrt{6}\right.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre a reta
r:\begin{cases} x=4+3\lambda,\\\ y=-1+\lambda,\\\ z=\lambda \end{cases}
e o plano
\pi: x - y - 2z + 4 = 0.
O conteúdo é “distância de reta a plano”. Para resolver vamos extrair o vetor diretor da reta, o vetor normal do plano e usar a fórmula de distância de ponto a plano, aproveitando que, se a reta for paralela ao plano, essa distância é constante.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor de r e o vetor normal de \pi:
\mathbf{v} = (3,\,1,\,1), \qquad \mathbf{n} = (1,\,-1,\,-2).
Calculamos o produto escalar
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v} =1\cdot3 + (-1)\cdot1 + (-2)\cdot1 =3 -1 -2 =0.
Como \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0, a reta é paralela ao plano e a distância entre eles é constante.

Passo 3

Para achar essa distância, basta escolher um ponto qualquer P_0 sobre a reta e calcular sua distância ao plano. Tomamos \lambda=0, de onde
P_0 = (4,\,-1,\,0).

Passo 4

Aplicamos a fórmula da distância de P_0 ao plano \pi:
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}},
onde A=1, B=-1, C=-2, D=4 e (x_0,y_0,z_0)=(4,-1,0). Calculamos
A x_0 + B y_0 + C z_0 + D =1\cdot4 + (-1)\cdot(-1) + (-2)\cdot0 + 4 =4 + 1 + 0 + 4 =9,
e
\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} =\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} =\sqrt{1 + 1 + 4} =\sqrt{6}.
Logo,
d = \frac{|9|}{\sqrt{6}} = \frac{9}{\sqrt{6}}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{\sqrt{6}}

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