Exercício 0.2. Sejam
e
matrizes quaisquer. Marque as opções verdadeiras e justifique.
( )
então
é invertível.
( ) Se
então
ou
.
( )
.
( )
então
é invertível.
( ) Se
é simétrica e também anti-simétrica então
( ) Se
então
ou
.
( )
.
()
então
é invertível.
( )
( ) Se
( )
( )
( ) Se
( ) Se
( )
()
Passo 1
O enunciado apresenta várias afirmações sobre matrizes
e pede para indicar quais são verdadeiras. O conteúdo envolve invertibilidade, divisores de zero em
, propriedades algébricas (distributividade e comutatividade) e definição de matrizes simétricas e antissimétricas. Para resolver usaremos:
- Fato de que, em matrizes quadradas, ter inversa à direita implica ser invertível.
- Contraexemplos de divisores de zero não nulos.
- Expansão de produto de soma e diferença sem comutatividade.
- Propriedade de polinômios matriciais.
- Definição de simetria (
) e antissimetria ( ). - Leis de distributividade de matrizes.
- Exemplo de nilpotente para mostrar falta de inversibilidade.
Passo 2
Analisemos “Se
então
é invertível.”
Temos
Temos
mas, mesmo sem o inverso de
, do fato
segue que
é inversa à direita de
, e portanto
é invertível. Como produto de matrizes invertíveis só pode ocorrer se cada fator for invertível, concluímos que
deve ser invertível. Logo esta opção é verdadeira.
Passo 3
Analisemos “Se
então
ou
.”
Em existem divisores de zero. Por exemplo, para
Em
temos
mas
e
. Logo a afirmação é falsa.
Passo 4
Analisemos “
.”
Expandindo sem assumir ,
Expandindo sem assumir
que só coincide com
se
. Em geral
, logo a afirmação é falsa.
Passo 5
Analisemos “Se
então
é invertível.”
Reescrevendo
Reescrevendo
Isso mostra que
é inversa à direita de
. Para matrizes quadradas, possuir inversa à direita implica inversibilidade. Logo esta opção é verdadeira.
Passo 6
Analisemos “Se
é simétrica e também antissimétrica então
.”
Simetria: . Antissimetria:
. Juntando,
Simetria:
Portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 7
Analisemos “
.”
Basta usar a distributividade das matrizes:
Basta usar a distributividade das matrizes:
Isso coincide com a escrita dada, logo é verdadeira.
Passo 8
Analisemos “Se
então
é invertível.”
Se ,
é nilpotente de índice
e tem determinante
, portanto
. Logo
não é invertível (exceto no caso trivial
, mas aí também não é invertível). A afirmação é falsa.
Se
Resposta
( ) Se
então
é invertível. – Verdadeira
( ) Se então
ou
. – Falsa
( ) . – Falsa
( ) Se então
é invertível. – Verdadeira
( ) Se é simétrica e também antissimétrica então
. – Verdadeira
( ) Se então
ou
. – Falsa
( ) . – Verdadeira
( ) Se então
é invertível. – Falsa
( ) Se
( )
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( )
( ) Se