Exercício 0.2. Sejam A_{n \times n}, B_{n \times n} e C_{n \times n} matrizes quaisquer. Marque as opções verdadeiras e justifique.
( ) S e(A B) C=I d então A é invertível.
( ) Se A B=0_{n \times n} então A=0_{n \times n} ou B=0_{n \times n}.
( ) (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}.
( ) S e A^{2}+A-I d=0 então A é invertível.
( ) Se A é simétrica e também anti-simétrica então A=0_{n \times n}
( ) Se A B=0_{n \times n} então A=0_{n \times n} ou B=0_{n \times n}.
( ) (A+B+2 . I d) A=A . A+B . A+2 . A.
() S e A^{2}=0 então A é invertível.

Passo 1

O enunciado apresenta várias afirmações sobre matrizes A,B,C\in\mathbb{R}^{n\times n} e pede para indicar quais são verdadeiras. O conteúdo envolve invertibilidade, divisores de zero em \mathbb{R}^{n\times n}, propriedades algébricas (distributividade e comutatividade) e definição de matrizes simétricas e antissimétricas. Para resolver usaremos:
  1. Fato de que, em matrizes quadradas, ter inversa à direita implica ser invertível.
  2. Contraexemplos de divisores de zero não nulos.
  3. Expansão de produto de soma e diferença sem comutatividade.
  4. Propriedade de polinômios matriciais.
  5. Definição de simetria ( A^T=A) e antissimetria ( A^T=-A).
  6. Leis de distributividade de matrizes.
  7. Exemplo de nilpotente para mostrar falta de inversibilidade.

Passo 2

Analisemos “Se (AB)C=Id então A é invertível.”
Temos
(AB)C=Id\quad\Longrightarrow\quad AB=\text{(C)}^{-1}
mas, mesmo sem o inverso de C, do fato (AB)C=Id segue que AB é inversa à direita de C, e portanto AB é invertível. Como produto de matrizes invertíveis só pode ocorrer se cada fator for invertível, concluímos que A deve ser invertível. Logo esta opção é verdadeira.

Passo 3

Analisemos “Se AB=0 então A=0 ou B=0.”
Em \mathbb{R}^{n\times n} existem divisores de zero. Por exemplo, para
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}
temos AB=0 mas A\neq0 e B\neq0. Logo a afirmação é falsa.

Passo 4

Analisemos “ (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}.”
Expandindo sem assumir AB=BA,
(A+B)(A-B)=A^2 - AB + BA - B^2,
que só coincide com A^2 - B^2 se AB=BA. Em geral AB\neq BA, logo a afirmação é falsa.

Passo 5

Analisemos “Se A^2+A-Id=0 então A é invertível.”
Reescrevendo
A^2 + A = Id \quad\Longrightarrow\quad A(A+Id)=Id.
Isso mostra que A+Id é inversa à direita de A. Para matrizes quadradas, possuir inversa à direita implica inversibilidade. Logo esta opção é verdadeira.

Passo 6

Analisemos “Se A é simétrica e também antissimétrica então A=0.”
Simetria: A^T=A. Antissimetria: A^T=-A. Juntando,
A = A^T = -A \quad\Longrightarrow\quad 2A=0 \quad\Longrightarrow\quad A=0.
Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 7

Analisemos “ (A+B+2\,Id)\,A = A\,A + B\,A + 2\,A.”
Basta usar a distributividade das matrizes:
(A+B+2\,Id)\,A = A\,A + B\,A + (2\,Id)\,A = A^2 + BA + 2A.
Isso coincide com a escrita dada, logo é verdadeira.

Passo 8

Analisemos “Se A^2=0 então A é invertível.”
Se A^2=0, A é nilpotente de índice \le2 e tem determinante \det(A)^2=\det(A^2)=0, portanto \det(A)=0. Logo A não é invertível (exceto no caso trivial A=0, mas aí também não é invertível). A afirmação é falsa.

Resposta

( ) Se (AB)C=Id então A é invertível. – Verdadeira
( ) Se AB=0 então A=0 ou B=0. – Falsa
( ) (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}. – Falsa
( ) Se A^{2}+A-Id=0 então A é invertível. – Verdadeira
( ) Se A é simétrica e também antissimétrica então A=0. – Verdadeira
( ) Se AB=0 então A=0 ou B=0. – Falsa
( ) (A+B+2\,Id)\,A=A\cdot A+B\cdot A+2\cdot A. – Verdadeira
( ) Se A^{2}=0 então A é invertível. – Falsa

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