Exercício 0.1. Considere as seguintes equações paramétricas da reta e do plano abaixo.
Reta: \left(\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right) \quad Plano: \left(\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right)+x\left(\begin{array}{c}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right).
Encontre a interseção dessa reta e desse plano.
Passo 1
O enunciado nos dá a reta e o plano em forma paramétrica no espaço. Para achar a interseção, vamos usar geometria analítica impondo que o ponto genérico da reta coincida com o ponto genérico do plano, igualando coordenadas.
Passo 2
Escrevendo as equações em coordenadas:
Para a reta, com parâmetro t, temos
(x,y,z) = (1+t,\;0,\;1+t).
Para o plano, renomeando os parâmetros como u,v, a partir de \bigl(1,0,0\bigr)+u\,(1,1,0)+v\,(0,1,1), obtemos
(x,y,z) = (1+u,\;u+v,\;v).
Igualando coordenadas, surge o sistema
1+t = 1+u,\quad 0 = u+v,\quad 1+t = v.
Passo 3
Resolver o sistema:
Da primeira equação 1+t = 1+u segue u = t.
Substituindo em 0 = u+v dá v = -u = -t.
Na terceira, 1+t = v leva a