Determine \alpha e \beta, de modo que os planos:
\pi_{1}: \alpha x+\beta y+4 z-1=0 \quad \text { e } \quad \pi_{2}: 3 x-5 y-2 z+5=0
sejam paralelos.

Passo 1

O enunciado dá dois planos
\pi_{1}: \alpha x + \beta y + 4z - 1 = 0
e
\pi_{2}: 3x - 5y - 2z + 5 = 0
e pede \alpha e \beta tais que \pi_{1} seja paralela a \pi_{2}. Em geometria analítica, dois planos são paralelos quando seus vetores normais são colineares.

Passo 2

Identificamos os vetores normais:
n_{1} = (\alpha,\;\beta,\;4), \quad n_{2} = (3,\;-5,\;-2).
Para serem colineares, deve existir um escalar k\neq0 tal que
(\alpha,\beta,4) = k\,(3,-5,-2).

Passo 3

Igualando a terceira componente, obtemos
4 = -2\,k
logo
k = -2.

Passo 4

Substituindo k=-2 nas primeiras e segundas componentes:
\alpha = 3k = 3\cdot(-2) = -6, \quad \beta = -5k = -5\cdot(-2) = 10.

Resposta

\alpha = -6 e \beta = 10.

Exercícios relacionados