Achar domínio, contra-domínio e imagem das funções seguintes:
f(x)=-\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função f dada por
f(x) = -\sqrt{x}.
As perguntas são:
  • achar o domínio de f (os valores de entrada x para os quais a função está definida);
  • indicar o contradomínio de f (o conjunto de valores que, por definição do problema, podem ser considerados como possíveis saídas);
  • achar a imagem (ou conjunto imagem) de f — ou seja, todos os valores realmente obtidos por f(x) quando x varia no domínio.

Passo 2

Definição e como achar o domínio: o domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a expressão da função faz sentido (no contexto dos números reais). Aqui há uma raiz quadrada \sqrt{x}. Para que \sqrt{x} seja um número real é necessário que o radicando seja não negativo:
x \ge 0.
Portanto o domínio é o conjunto de todos os x reais maiores ou iguais a zero, ou seja
\text{Dom}(f)=\left[0,\infty\right).

Passo 3

Sobre o contradomínio: o enunciado não especifica um contradomínio explícito. O costume padrão é assumir que o contradomínio seja o conjunto dos números reais \mathbb{R}, salvo indicação em contrário. Assim, adotamos
\text{Codom}(f)=\mathbb{R}.
(Observação: a escolha do contradomínio é parte da definição da função; se alguém definisse o contradomínio como (-\infty,0] a função seria sobrejetora, mas aqui não foi especificado, então usamos \mathbb{R}.)

Passo 4

Definição e cálculo da imagem (conjunto imagem): a imagem de f é o conjunto de valores y que realmente ocorrem como y=f(x) para algum x do domínio. Começamos observando que, para x\ge0, tem-se \sqrt{x}\ge0. Então
f(x) = -\sqrt{x} \le 0,
isto é, todos os valores de f(x) são menores ou iguais a zero. Logo a imagem está contida em (-\infty,0].
Para mostrar que toda y em (-\infty,0] é realmente atingida por algum x, fazemos um cálculo inverso: suponha um y com y\le0 e resolva f(x)=y:
-\sqrt{x} = y \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x} = -y.
Como y\le0 temos -y\ge0, então podemos elevar ao quadrado:
x = (-y)^2 = y^2.
Verificamos que x=y^2\ge0, logo x pertence ao domínio, e então
f(y^2) = -\sqrt{y^2} = -|y|.
Como y\le0 temos |y|=-y, portanto -|y|=y. Assim f(y^2)=y. Concluímos que qualquer y\le0 é atingido por f. Portanto a imagem é exatamente
\text{Im}(f)=\left(-\infty,0\right].

Passo 5

Exemplos para fixar a intuição:
f(0)= -\sqrt{0} = 0,
f(1)= -\sqrt{1} = -1,
f(4)= -\sqrt{4} = -2,
f(9)= -\sqrt{9} = -3.
Esses exemplos mostram que toda saída é \le0 e que valores arbitrariamente negativos são possíveis (basta escolher x grande).

Resposta

Domínio: \left[0,\infty\right)
Contradomínio: \mathbb{R}
Imagem: \left(-\infty,0\right]

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