Achar domínio, contra-domínio e imagem das funções seguintes:
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
dada por
As perguntas são:
- achar o domínio de
(os valores de entrada para os quais a função está definida); - indicar o contradomínio de
(o conjunto de valores que, por definição do problema, podem ser considerados como possíveis saídas); - achar a imagem (ou conjunto imagem) de
— ou seja, todos os valores realmente obtidos por quando varia no domínio.
Passo 2
Definição e como achar o domínio: o domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a expressão da função faz sentido (no contexto dos números reais). Aqui há uma raiz quadrada
. Para que
seja um número real é necessário que o radicando seja não negativo:
Portanto o domínio é o conjunto de todos os
reais maiores ou iguais a zero, ou seja
Passo 3
Sobre o contradomínio: o enunciado não especifica um contradomínio explícito. O costume padrão é assumir que o contradomínio seja o conjunto dos números reais
, salvo indicação em contrário. Assim, adotamos
(Observação: a escolha do contradomínio é parte da definição da função; se alguém definisse o contradomínio como
a função seria sobrejetora, mas aqui não foi especificado, então usamos
.)
Passo 4
Definição e cálculo da imagem (conjunto imagem): a imagem de
é o conjunto de valores
que realmente ocorrem como
para algum
do domínio. Começamos observando que, para
, tem-se
. Então
isto é, todos os valores de
são menores ou iguais a zero. Logo a imagem está contida em
.
Para mostrar que toda
em
é realmente atingida por algum
, fazemos um cálculo inverso: suponha um
com
e resolva
:
Como
temos
, então podemos elevar ao quadrado:
Verificamos que
, logo
pertence ao domínio, e então
Como
temos
, portanto
. Assim
. Concluímos que qualquer
é atingido por
. Portanto a imagem é exatamente
Passo 5
Exemplos para fixar a intuição:
Esses exemplos mostram que toda saída é
e que valores arbitrariamente negativos são possíveis (basta escolher
grande).
Resposta
Domínio:
Contradomínio:
Imagem:
Contradomínio:
Imagem: