Questão 2. Decompor as funções seguintes nas funções elementares
, restritas aos domínios apropriados:
Passo 1
O enunciado pede: decompor a função
em termos das funções elementares fornecidas
usando composições e operações usuais, e indicar os domínios adequados. Informações relevantes dadas:
- A função a decompor é
. - As funções elementares disponíveis são
(definidas acima). - Deve-se prestar atenção às restrições de domínio impostas pela raiz quadrada e pela divisão.
Passo 2
Encontrar o domínio de
observando as restrições de cada operação na expressão
.
Explicação detalhada das restrições:
- A raiz quadrada real
só está definida para . Aqui o argumento é . Logo é necessário
- Além disso, há uma divisão por
. A função exige . Com isso implica
Juntando as duas condições (raiz definida e denominador não nulo) obtemos
Portanto o domínio natural de
é
.
Passo 3
Construir uma função auxiliar que faça
usando
e
.
Definição:
Explicando:
e
, então
Domínio de
:
está definida para todo
. Mais adiante, ao compor com
e
restringiremos o domínio conforme necessário.
Passo 4
Aplicar a raiz
à função
: formar
.
Cálculo e explicação:
Domínio de
exigido por
:
, isto é
. Note que
.
Passo 5
Aplicar a função recíproca
a
: formar
.
Cálculo e explicação:
Domínio final imposto por
: é preciso
, ou seja
, o que dá
. Assim o domínio final de
é
, conforme encontrado no Passo 2.
Passo 6
Expressão final como composição das funções elementares e verificação com um exemplo numérico.
Escrita em forma composta:
Forma aninhada (avaliando em
):
Exemplo numérico (para conferir a sequência de operações): para
,
Logo
, consistente com a fórmula.