Questão 2. Decompor as funções seguintes nas funções elementares r(x)= \sqrt{x}, i(x)=\frac{1}{x}, I d(x)=x, k(x)=1, restritas aos domínios apropriados:
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}\,

Passo 1

O enunciado pede: decompor a função f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}} em termos das funções elementares fornecidas
r(x)=\sqrt{x},\qquad i(x)=\dfrac{1}{x},\qquad \mathrm{Id}(x)=x,\qquad k(x)=1,
usando composições e operações usuais, e indicar os domínios adequados. Informações relevantes dadas:
  • A função a decompor é f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}.
  • As funções elementares disponíveis são r,i,\mathrm{Id},k (definidas acima).
  • Deve-se prestar atenção às restrições de domínio impostas pela raiz quadrada e pela divisão.

Passo 2

Encontrar o domínio de f observando as restrições de cada operação na expressão f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}.
Explicação detalhada das restrições:
  • A raiz quadrada real r(t)=\sqrt{t} só está definida para t\ge 0. Aqui o argumento é t=x+1. Logo é necessário
x+1 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge -1.
  • Além disso, há uma divisão por \sqrt{x+1}. A função i(u)=\dfrac{1}{u} exige u\neq 0. Com u=\sqrt{x+1} isso implica
\sqrt{x+1}\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x+1\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq -1.
Juntando as duas condições (raiz definida e denominador não nulo) obtemos
x>-1.
Portanto o domínio natural de f é \{x\in\mathbb{R}\mid x>-1\} = (-1,\infty).

Passo 3

Construir uma função auxiliar que faça x\mapsto x+1 usando \mathrm{Id} e k.
Definição:
s(x)=\mathrm{Id}(x)+k(x).
Explicando: \mathrm{Id}(x)=x e k(x)=1, então
s(x)=x+1.
Domínio de s: s está definida para todo x\in\mathbb{R}. Mais adiante, ao compor com r e i restringiremos o domínio conforme necessário.

Passo 4

Aplicar a raiz r à função s: formar u(x)=r(s(x)).
Cálculo e explicação:
u(x)=r(s(x))=\sqrt{s(x)}=\sqrt{x+1}.
Domínio de u exigido por r: s(x)=x+1\ge 0, isto é x\ge -1. Note que u(-1)=0.

Passo 5

Aplicar a função recíproca i a u: formar f(x)=i(u(x)).
Cálculo e explicação:
f(x)=i(u(x))=\dfrac{1}{u(x)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}.
Domínio final imposto por i: é preciso u(x)\neq 0, ou seja \sqrt{x+1}\neq 0, o que dá x>-1. Assim o domínio final de f é (-1,\infty), conforme encontrado no Passo 2.

Passo 6

Expressão final como composição das funções elementares e verificação com um exemplo numérico.
Escrita em forma composta:
f = i\circ r\circ (\mathrm{Id}+k).
Forma aninhada (avaliando em x):
f(x)=i\bigl(r(\mathrm{Id}(x)+k(x))\bigr)=i\bigl(r(x+1)\bigr)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}.
Exemplo numérico (para conferir a sequência de operações): para x=3,
\mathrm{Id}(3)=3,\quad k(3)=1,\quad \mathrm{Id}(3)+k(3)=4,
r(4)=\sqrt{4}=2,\quad i(2)=\dfrac{1}{2}.
Logo f(3)=\dfrac{1}{2}, consistente com a fórmula.

Resposta

f = i\circ r\circ (\mathrm{Id}+k),\qquad \mathrm{Dom}(f)=(-1,\infty)

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