Achar a dominio (esboçar o lugar geométrico) da função que se segue:
f(x ; y)=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}-1}{9-x^{2}-y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x,y)=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}-1}{9-x^{2}-y^{2}}}
ou seja, todos os pares (x,y) em \mathbb{R}^2 em que essa expressão está bem definida e real. O conteúdo é analisar desigualdades para o radicando e o denominador.

Passo 2

Para que f(x,y) seja real e definida, precisamos de duas coisas:
  1. O denominador não pode ser zero, isto é,
9 - x^{2} - y^{2} \neq 0.
  1. O quociente dentro da raiz deve ser não–negativo, isto é,
\frac{x^{2}+y^{2}-1}{9 - x^{2} - y^{2}} \ge 0.

Passo 3

Definimos r^{2}=x^{2}+y^{2}. As condições viram:
9 - r^{2}\neq 0 \qquad\text{e}\qquad \frac{r^{2}-1}{9 - r^{2}}\ge 0.

Passo 4

Analisando \frac{r^{2}-1}{9 - r^{2}}\ge 0:
  • Se r^{2}-1\ge 0 e 9 - r^{2}>0, a fração é \ge0.
    Isso dá
r^{2}\ge1 \quad\text{e}\quad r^{2}<9.
  • Não há outra combinação de sinais que torne a fração \ge0 com 9-r^2\neq0.
    Logo, juntando tudo:
1\le r^{2}<9.

Passo 5

Em coordenadas cartesianas, r^{2}=x^{2}+y^{2}. Portanto o domínio é o anel
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 1\le x^{2}+y^{2}<9\},
isto é, a região entre o círculo de raio 1 (inclusive) e o círculo de raio 3 (excluída).

Resposta

O domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 1\le x^{2}+y^{2}<9\},
um anel com raio interno 1 e externo 3.

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