Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y)=(2 x y, a). Seja C a curva que contorna a região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=x, orientada no sentido anti-horário. Calcule \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec F(x,y) = (P,Q) = (2xy,\;a)
e pede \displaystyle \oint_{C}\vec F\cdot d\vec r,
onde C é o contorno da região D limitada pelas curvas y=x^2 e y=x, orientado no sentido anti-horário.
Conteúdo: integral de linha e Teorema de Green.

Passo 2

Vemos que
\frac{\partial Q}{\partial x} = 0, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = 2x,
então \partial Q/\partial x \neq \partial P/\partial y e \vec F não é conservativo.
Logo, usamos o Teorema de Green:
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA = \iint_{D}(-2x)\,dA.

Passo 3

Precisamos parametrizar a região D. As curvas se intersectam em x^2=x\implies x=0,1. Para cada x\in[0,1], y varia de x^2 até x.
Assim,
\oint_{C}\vec F\cdot d\vec r = \int_{x=0}^{1}\int_{y=x^2}^{\,x}(-2x)\,dy\,dx.

Passo 4

Calculando a integral iterada:
\int_{x=0}^{1}\int_{y=x^2}^{\,x}(-2x)\,dy\,dx = \int_{0}^{1}(-2x)\bigl[x - x^2\bigr]\,dx = -2\int_{0}^{1}(x^2 - x^3)\,dx.
Agora,
\int_{0}^{1}(x^2 - x^3)\,dx = \Bigl[\tfrac{x^3}{3}-\tfrac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{12}.
Portanto,
-2\cdot \tfrac{1}{12} = -\tfrac{1}{6}.

Resposta

\oint_{C}\vec F\cdot d\vec r = -\tfrac{1}{6}.

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