Descrmuc o intervalo de costvergência e o raio de covergência da série seguinte:
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências centrada em
:
O conteúdo que vamos usar é a aplicação do teste da razão para séries de potências, que dá o raio de convergência.
Passo 2
Definimos o coeficiente
de modo que a série é
. Vamos calcular
e então usar que o teste da razão diz que a série converge se
Passo 3
Primeiro computamos a razão dos coeficientes:
Note que
e portanto
Já
Assim
Passo 4
Pelo teste da razão para a série
, a condição de convergência é
Logo o raio de convergência é
e o intervalo aberto de convergência é
Falta agora verificar os pontos extremos
e
.
Passo 5
Em
temos
, e o termo geral fica
Como
a série diverge por o termo não ir a zero. O mesmo acontece em
(apenas muda o sinal
), e o módulo do termo geral também tende a
. Portanto ambos os extremos não entram no intervalo de convergência.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é