Descrmuc o intervalo de costvergência e o raio de covergência da série seguinte:
\sum_{n=1}^{\infty}(x-1)^{n}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{2 n}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências centrada em x=1:
\sum_{n=1}^{\infty}(x-1)^{n}\Bigl(\frac{n}{2n+1}\Bigr)^{2n}.
O conteúdo que vamos usar é a aplicação do teste da razão para séries de potências, que dá o raio de convergência.

Passo 2

Definimos o coeficiente
a_n = \Bigl(\frac{n}{2n+1}\Bigr)^{2n}
de modo que a série é \sum a_n (x-1)^n. Vamos calcular
\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|
e então usar que o teste da razão diz que a série converge se
\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|\;|x-1| < 1.

Passo 3

Primeiro computamos a razão dos coeficientes:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\bigl(\frac{n+1}{2n+3}\bigr)^{2(n+1)}}{\bigl(\frac{n}{2n+1}\bigr)^{2n}} =\Bigl[\frac{(n+1)(2n+1)}{n(2n+3)}\Bigr]^{2n} \;\times\Bigl(\frac{n+1}{2n+3}\Bigr)^{2}.
Note que
\frac{(n+1)(2n+1)}{n(2n+3)}=1+\frac{1}{2n^2+3n}
e portanto
\lim_{n\to\infty}\Bigl[\frac{(n+1)(2n+1)}{n(2n+3)}\Bigr]^{2n} =\exp\Bigl(\lim_{n\to\infty}2n\ln\bigl(1+\tfrac1{2n^2+3n}\bigr)\Bigr) =1.
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n+1}{2n+3}\Bigr)^{2} =\Bigl(\frac12\Bigr)^{2}=\frac14.
Assim
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac14.

Passo 4

Pelo teste da razão para a série \sum a_n(x-1)^n, a condição de convergência é
\frac14\,|x-1|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-1|<4.
Logo o raio de convergência é R=4 e o intervalo aberto de convergência é
(1-4,\;1+4)=(-3,5).
Falta agora verificar os pontos extremos x=-3 e x=5.

Passo 5

Em x=5 temos (x-1)^n=4^n, e o termo geral fica
4^n\Bigl(\frac{n}{2n+1}\Bigr)^{2n} =\Bigl(\frac{2n}{2n+1}\Bigr)^{2n}.
Como
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{2n}{2n+1}\Bigr)^{2n} =\exp\bigl(\lim2n\ln(1-\tfrac1{2n+1})\bigr) =e^{-1}\neq0,
a série diverge por o termo não ir a zero. O mesmo acontece em x=-3 (apenas muda o sinal (-1)^n), e o módulo do termo geral também tende a e^{-1}\neq0. Portanto ambos os extremos não entram no intervalo de convergência.

Resposta

O raio de convergência é R=4 e o intervalo de convergência é
\bigl(-3,\,5\bigr).

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