Seja a superficie parametrizada por
\vec{r}(u, v)=\left(u \cos v, u \sin v, u^{2}\right), \quad 0 \leq u \leq 2,0 \leq v \leq \pi
Calcule a área da superficie descrita por \vec{r}(u, v).

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície parametrizada por
\vec{r}(u,v) = \bigl(u\cos v,\;u\sin v,\;u^2\bigr),\quad 0\le u\le2,\;0\le v\le\pi.
O conteúdo é o cálculo de área de superfície via integral de \|\vec r_u\times\vec r_v\|.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
\vec r_u = \frac{\partial\vec r}{\partial u} = (\cos v,\;\sin v,\;2u),
\vec r_v = \frac{\partial\vec r}{\partial v} = (-u\sin v,\;u\cos v,\;0).

Passo 3

Formamos o produto vetorial
\vec r_u\times\vec r_v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\ \cos v & \sin v & 2u\\\\ -u\sin v & u\cos v & 0 \end{vmatrix} = (-2u^2\cos v,\;-2u^2\sin v,\;u).

Passo 4

A norma desse vetor é
\|\vec r_u\times\vec r_v\| =\sqrt{(-2u^2\cos v)^2+(-2u^2\sin v)^2+u^2} =\sqrt{4u^4(\cos^2v+\sin^2v)+u^2} =u\sqrt{4u^2+1}.

Passo 5

A área A vem da integral sobre o domínio (u,v):
A=\int_{v=0}^{\pi}\int_{u=0}^{2}u\sqrt{4u^2+1}\,du\,dv =\pi\int_{0}^{2}u\sqrt{4u^2+1}\,du.

Passo 6

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{2}u\sqrt{4u^2+1}\,du, use t=4u^2+1, dt=8u\,du, logo
\int u\sqrt{4u^2+1}\,du =\frac{1}{8}\int t^{1/2}\,dt =\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}t^{3/2} =\frac{1}{12}(4u^2+1)^{3/2}.
Avaliado de u=0 a u=2 fica
\frac{1}{12}\bigl((4\cdot2^2+1)^{3/2}-1^{3/2}\bigr) =\frac{1}{12}\bigl(17^{3/2}-1\bigr).

Passo 7

Substituindo na área:
A =\pi\cdot\frac{1}{12}\bigl(17^{3/2}-1\bigr) =\frac{\pi\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr)}{12}.

Resposta

A = \frac{\pi\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr)}{12}.

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