Achar o domínio (esbocar o lugar geométrico) da função que se segue:
f(x ; y)=\operatorname{arcsec}\left(\frac{y}{x^{2}-4}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x;y)=\operatorname{arcsec}\!\left(\dfrac{y}{x^{2}-4}\right) e pede o domínio (o conjunto de pares (x,y) reais para os quais f está definida). Informações importantes fornecidas:
  • A expressão dentro do arcsec é \dfrac{y}{x^{2}-4}.
  • Há um potencial problema de divisão por zero quando x^{2}-4=0.
  • É preciso determinar para quais (x,y) o valor \operatorname{arcsec} é um número real.

Passo 2

Entender quando \operatorname{arcsec}(u) é um número real.
  • A função \operatorname{sec}(t) é \operatorname{sec}(t)=\dfrac{1}{\cos t}. Como \cos t varia em [-1,1] (valores reais), os valores possíveis de \operatorname{sec} t são os reais tais que |\operatorname{sec} t|\ge 1. Ou seja, o conjunto de imagens reais de \operatorname{sec} é (-\infty,-1]\cup[1,\infty).
  • Portanto, para que \operatorname{arcsec}(u) seja real, é necessário e suficiente que u seja real e |u|\ge 1.
  • Em linguagem direta: \operatorname{arcsec}(u) está definido (como número real) exatamente quando |u|\ge 1.

Passo 3

Aplicar isso ao nosso u=\dfrac{y}{x^{2}-4}.
Para que f(x;y) exista como real é preciso:
  1. o denominador não ser zero:
x^{2}-4\neq 0,
isto é x\neq \pm 2;
2) satisfazer a condição |u|\ge 1, aqui
\left|\dfrac{y}{x^{2}-4}\right|\ge 1.

Passo 4

Manipular a desigualdade \left|\dfrac{y}{x^{2}-4}\right|\ge 1.
Como x^{2}-4\neq 0, o número |x^{2}-4| é estritamente positivo, então podemos multiplicar ambos os lados por |x^{2}-4| sem trocar o sinal da desigualdade. Assim:
\left|\dfrac{y}{x^{2}-4}\right|\ge 1 \quad\Longleftrightarrow\quad |y|\ge |x^{2}-4|.
Essa forma é muito mais simples de interpretar geometricamente: o valor absoluto de y deve ser maior ou igual ao valor absoluto de x^{2}-4.

Passo 5

Expressar a condição de forma mais explícita por regiões de x.
Note que |x^{2}-4| tem duas expressões dependendo de x:
  • Se |x|\ge 2 (isto é, x^{2}-4\ge 0), então |x^{2}-4|=x^{2}-4. A condição fica
|y|\ge x^{2}-4,
o que equivale a
y\ge x^{2}-4 \quad\text{ou}\quad y\le -(x^{2}-4)=4-x^{2}.
  • Se |x|<2 (isto é, x^{2}-4<0), então |x^{2}-4|=4-x^{2}. A condição fica
|y|\ge 4-x^{2},
o que equivale a
y\ge 4-x^{2} \quad\text{ou}\quad y\le -(4-x^{2})=x^{2}-4.
Lembrar: em ambas as situações continua valendo a restrição x\neq \pm 2.

Passo 6

Interpretar geometricamente o lugar geométrico.
As duas curvas importantes são
y=x^{2}-4\quad\text{(parábola voltada para cima, deslocada para baixo 4)}á
e
y=4-x^{2}\quad\text{(parábola voltada para baixo, deslocada para cima 4).}á
Essas duas parábolas se intersectam exatamente em (x,y)=(\pm 2,0). A condição |y|\ge |x^{2}-4| significa que o ponto (x,y) está “fora” da região entre as duas parábolas — isto é, acima da parábola superior y=x^{2}-4 ou abaixo da parábola inferior y=4-x^{2} — com a observação de que a linha vertical em x=\pm 2 deve ser excluída (divisão por zero).

Passo 7

Anotar o domínio de forma concisa e correta.
A forma mais compacta e correta é:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq \pm 2,\; |y|\ge |x^{2}-4|\}.
Explicação rápida: inclui os pontos onde a desigualdade é satisfeita (igualdade permitida), mas exclui os pontos com x=\pm 2 por causa da divisão por zero.

Passo 8

Alguns exemplos para fixar a ideia (verifique a condição e a exclusão de x=\pm2):
  • (x,y)=(3,5): x^{2}-4=5, |y|=5\ge 5 → pertence ao domínio.
  • (x,y)=(0,3): x^{2}-4=-4, |y|=3<4 → não pertence ao domínio.
  • (x,y)=(2,0): apesar de |y|=|x^{2}-4|=0, x=2 dá divisão por zero → ponto excluído do domínio.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq \pm 2,\; |y|\ge |x^{2}-4|\}

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