Estudar a natureza das séries seguintes e determine a soma, caso seja possível:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(2^{(1-2 n)}+\frac{3}{2^{3 n-2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu estude a natureza (convergente ou divergente) da série e determine a soma, se existir. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty}\left(2^{(1-2 n)}+\frac{3}{2^{3 n-2}}\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A soma é sobre n de 1 até \infty.
  • O termo geral é a soma de duas parcelas: 2^{1-2n} e \dfrac{3}{2^{3n-2}}.
  • É provável que cada parcela seja uma série geométrica; preciso reescrever para identificar razão e verificar convergência.

Passo 2

Vou manipular as potências para escrever cada parcela como uma constante vezes uma potência da forma r^{n} (ou r^{n-1}), porque esse é o formato de uma série geométrica.
Regras de potências que vou usar (exemplo): para quaisquer expoentes a,b vale \,2^{a+b}=2^a\cdot2^b e \,2^{-k}=(1/2)^k.
Primeira parcela:
2^{1-2n}=2^{1}\cdot 2^{-2n}=2\cdot(2^{-2})^{n}=2\cdot\left(\tfrac{1}{4}\right)^{n}.
Verificação numérica rápida: para n=1, 2^{1-2}=2^{-1}=\tfrac{1}{2} e 2\cdot(1/4)^1=2\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2} — bate.
Segunda parcela:
\frac{3}{2^{3n-2}}=3\cdot 2^{-(3n-2)}=3\cdot 2^{2}\cdot 2^{-3n}=12\cdot(2^{-3})^{n}=12\cdot\left(\tfrac{1}{8}\right)^{n}.
Verificação: para n=1, \dfrac{3}{2^{1}}=\tfrac{3}{2} e 12\cdot(1/8)=\tfrac{12}{8}=\tfrac{3}{2} — também bate.
Portanto a série pode ser reescrita como
\sum_{n=1}^{\infty}\left(2\left(\tfrac{1}{4}\right)^{n}+12\left(\tfrac{1}{8}\right)^{n}\right).

Passo 3

Agora vejo que a série é a soma de duas séries geométricas separadas:
\sum_{n=1}^{\infty}2\left(\tfrac{1}{4}\right)^{n}\quad\text{e}\quad\sum_{n=1}^{\infty}12\left(\tfrac{1}{8}\right)^{n}.
Lembrete sobre séries geométricas (fórmula e condição):
  • Uma série geométrica de razão \,r pode ser escrita como \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} ou como \sum_{n=1}^{\infty} a' r^{n}. Ela converge se, e somente se, |r|<1.
  • Se |r|<1, então a soma é
\sum_{n=1}^{\infty}a' r^{n}=\frac{a'r}{1-r},\quad\text{ou}\quad \sum_{n=1}^{\infty}a r^{n-1}=\frac{a}{1-r},
onde a (ou a') é a constante multiplicativa e r é a razão.
Aplicando aqui:
  • Na primeira série a razão é r_1=\tfrac{1}{4} e |r_1|=\tfrac{1}{4}<1, logo converge.
  • Na segunda a razão é r_2=\tfrac{1}{8} e |r_2|=\tfrac{1}{8}<1, logo converge.
    Como ambas convergem, a série original converge e sua soma é a soma das somas parciais.

Passo 4

Calculo a soma de cada série usando a fórmula \sum_{n=1}^{\infty}a' r^{n}=\dfrac{a'r}{1-r}.
Primeira soma:
\sum_{n=1}^{\infty}2\left(\tfrac{1}{4}\right)^{n} =2\cdot\frac{\tfrac{1}{4}}{1-\tfrac{1}{4}} =2\cdot\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{3}{4}} =2\cdot\frac{1}{3} =\frac{2}{3}.
Segunda soma:
\sum_{n=1}^{\infty}12\left(\tfrac{1}{8}\right)^{n} =12\cdot\frac{\tfrac{1}{8}}{1-\tfrac{1}{8}} =12\cdot\frac{\tfrac{1}{8}}{\tfrac{7}{8}} =12\cdot\frac{1}{7} =\frac{12}{7}.

Passo 5

Somando as duas parcelas obtidas:
\frac{2}{3}+\frac{12}{7}.
Colocando em denominador comum 21:
\frac{2}{3}=\frac{14}{21},\qquad \frac{12}{7}=\frac{36}{21},
logo
\frac{14}{21}+\frac{36}{21}=\frac{50}{21}.
Portanto a série converge e sua soma é \dfrac{50}{21}.

Resposta

\dfrac{50}{21}

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