Estudar a natureza das séries seguintes e determine a soma, caso seja possível:
Passo 1
O enunciado pede que eu estude a natureza (convergente ou divergente) da série e determine a soma, se existir. A série dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A soma é sobre
de até . - O termo geral é a soma de duas parcelas:
e . - É provável que cada parcela seja uma série geométrica; preciso reescrever para identificar razão e verificar convergência.
Passo 2
Vou manipular as potências para escrever cada parcela como uma constante vezes uma potência da forma
(ou
), porque esse é o formato de uma série geométrica.
Regras de potências que vou usar (exemplo): para quaisquer expoentes
vale
e
.
Primeira parcela:
Verificação numérica rápida: para
,
e
— bate.
Segunda parcela:
Verificação: para
,
e
— também bate.
Portanto a série pode ser reescrita como
Passo 3
Agora vejo que a série é a soma de duas séries geométricas separadas:
Lembrete sobre séries geométricas (fórmula e condição):
- Uma série geométrica de razão
pode ser escrita como ou como . Ela converge se, e somente se, . - Se
, então a soma é
onde
(ou
) é a constante multiplicativa e
é a razão.
Aplicando aqui:
- Na primeira série a razão é
e , logo converge. - Na segunda a razão é
e , logo converge.
Como ambas convergem, a série original converge e sua soma é a soma das somas parciais.
Passo 4
Calculo a soma de cada série usando a fórmula
.
Primeira soma:
Segunda soma:
Passo 5
Somando as duas parcelas obtidas:
Colocando em denominador comum
:
logo
Portanto a série converge e sua soma é
.