Achar domínio e imagem da função
e calcular a função inversa
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o domínio e a imagem da função $ f(x) = 2 + \sqrt{8 - x^3} $ e também para calcular a função inversa $ f^{-1} $. Para isso, vamos precisar entender sobre funções, suas restrições (domínio e imagem) e o conceito de função inversa.
Passo 2
Encontrando o Domínio:
O domínio de uma função são todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. No caso de $ f(x) = 2 + \sqrt{8 - x^3} $, temos uma raiz quadrada. Sabemos que a expressão dentro da raiz deve ser não negativa (maior ou igual a zero), pois a raiz de um número negativo não é real.
Portanto, vamos resolver a desigualdade:
Passo 3
Resolvendo a Desigualdade:
Vamos isolar $ x^3 $:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre-se que ao multiplicar ou dividir por um número negativo a desigualdade inverte o sinal):
Agora, tiramos a raiz cúbica dos dois lados:
Então, o domínio de $ f(x) $ é todos os números reais menores ou iguais a 2.
Domínio: $ x \in (-\infty, 2] $
Passo 4
Encontrando a Imagem:
A imagem da função são todos os valores possíveis de $ f(x) $. Vamos analisar a expressão $ f(x) = 2 + \sqrt{8 - x^3} $.
Sabemos que $ \sqrt{8 - x^3} $ é sempre maior ou igual a 0, pois é uma raiz quadrada. O menor valor que essa raiz pode assumir é 0 (quando $ x = 2 $) e cresce conforme $ x $ diminui.
Portanto, o valor mínimo de $ f(x) $ ocorre quando $ \sqrt{8 - x^3} = 0 $:
E conforme $ x $ vai diminuindo (tornando-se mais negativo), $ \sqrt{8 - x^3} $ aumenta sem limite superior, já que $ x^3 $ fica cada vez mais negativo, tornando $ 8 - x^3 $ cada vez maior.
Imagem: $ f(x) \in [2, +\infty) $
Passo 5
Calculando a Função Inversa $ f^{-1}(y) $:
Para encontrar a inversa, queremos expressar $ x $ em termos de $ y $ onde $ y = f(x) $.
Começamos com:
Vamos isolar a raiz quadrada:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Isolando $ x^3 $:
Finalmente, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Então, a função inversa é:
Resposta
- Domínio de $ f(x) $: $ x \in (-\infty, 2] $
- Imagem de $ f(x) $: $ f(x) \in [2, +\infty) $
- Função inversa: $ f^{-1}(y) = \sqrt[3]{8 - (y - 2)^2} $