Mostre que:
para
, temos que
se, e somente se,
ou
.
para
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um número natural não-nulo
, a igualdade
ocorre exatamente quando
ou
. Estamos trabalhando com o conceito de valor absoluto de um número real e precisamos usar sua definição por casos.
Passo 2
Lembrando a definição de valor absoluto: para todo
, temos
Essa definição é a base para a prova.
Passo 3
Provaremos primeiro a implicação direta: se
, então ou
ou
.
Pela definição de
, existem dois casos:
- Se
, então . Como , segue que . - Se
, então . Como , temos , ou seja, .
Portanto, em qualquer situação,leva a ou .
Passo 4
Agora provamos a implicação recíproca: se
ou
, então
.
- Se
, como , temos e então . - Se
, como , temos e então .
Em ambos os casos,.
Passo 5
Como mostramos as duas direções da equivalência, concluímos que para todo
e todo
Resposta
|x| = n se, e somente se, x = n ou x = -n.