Mostre que:
para n in N^*, temos que |x|=n se, e somente se, x=n ou x=-n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um número natural não-nulo n, a igualdade |x|=n ocorre exatamente quando x=n ou x=-n. Estamos trabalhando com o conceito de valor absoluto de um número real e precisamos usar sua definição por casos.

Passo 2

Lembrando a definição de valor absoluto: para todo xinR, temos
|x| = x, & se x >= 0, -x, & se x < 0
Essa definição é a base para a prova.

Passo 3

Provaremos primeiro a implicação direta: se |x| = n, então ou x = n ou x = -n.
Pela definição de |x|, existem dois casos:
  1. Se x >= 0, então |x| = x. Como |x| = n, segue que x = n.
  2. Se x < 0, então |x| = -x. Como |x| = n, temos -x = n, ou seja, x = -n.
    Portanto, em qualquer situação, |x|=n leva a x=n ou x=-n.

Passo 4

Agora provamos a implicação recíproca: se x = n ou x = -n, então |x| = n.
  • Se x = n, como n>0, temos x>=0 e então |x| = x = n.
  • Se x = -n, como n>0, temos x<0 e então |x| = -x = -(-n) = n.
    Em ambos os casos, |x|=n.

Passo 5

Como mostramos as duas direções da equivalência, concluímos que para todo ninN^* e todo xinR
|x| = n se, e somente se, x = n ou x = -n

Resposta

|x| = n se, e somente se, x = n ou x = -n.

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