Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse problema está na área de cálculo multivariável, especificamente lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender o que significa o limite existir nesse contexto. Para que o limite
exista, o valor da função
deve se aproximar do mesmo número, independentemente do caminho que
toma para chegar a
.
Passo 3
Vamos verificar o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se conseguimos obter valores diferentes. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que resultam em limites diferentes, podemos concluir que o limite geral não existe.
Passo 4
Primeiro caminho: Vamos manter
. Substituindo na função:
Então, ao longo do caminho
, o limite é 0.
Passo 5
Segundo caminho: Agora, vamos escolher
. Substituindo na função:
Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, então
tende ao infinito.
Passo 6
Observamos que ao longo do caminho
, o limite é 0, enquanto ao longo do caminho
, o limite tende ao infinito. Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe.