Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim(x, y) (0,0) x yx^2+y^4. Esse problema está na área de cálculo multivariável, especificamente lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando (x, y) se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender o que significa o limite existir nesse contexto. Para que o limite lim(x, y) (0,0) f(x, y) exista, o valor da função f(x, y) deve se aproximar do mesmo número, independentemente do caminho que (x, y) toma para chegar a (0,0).

Passo 3

Vamos verificar o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se conseguimos obter valores diferentes. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que resultam em limites diferentes, podemos concluir que o limite geral não existe.

Passo 4

Primeiro caminho: Vamos manter y = 0. Substituindo na função:
x cdot 0x^2 + 0^4 = 0x^2 = 0
Então, ao longo do caminho y = 0, o limite é 0.

Passo 5

Segundo caminho: Agora, vamos escolher y = x^1/2. Substituindo na função:
x cdot x^1/2x^2 + (x^1/2)^4 = x^3/2x^2 + x^2 = x^3/22x^2 = 12x^1/2
Quando x se aproxima de 0, x^1/2 também se aproxima de 0, então 12x^1/2 tende ao infinito.

Passo 6

Observamos que ao longo do caminho y = 0, o limite é 0, enquanto ao longo do caminho y = x^1/2, o limite tende ao infinito. Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite lim(x, y) (0,0) x yx^2+y^4 não existe.

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