Seja
a mediatriz do segmento
, onde
e
. Calcular a distância
entre
e a origem. Achar equações cartesianas para as retas
que são ortogonais a
e estão à mesma distância
da origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a distância entre a mediatriz do segmento $ AB $ e a origem, além de encontrar as equações de duas retas que são ortogonais à mediatriz e estão na mesma distância da origem. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como mediatriz de um segmento, equação de retas, e fórmula da distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a mediatriz do segmento $ AB $. A mediatriz é a reta que corta o segmento ao meio e é perpendicular a ele.
-
Encontrar o ponto médio de $ AB $:
As coordenadas dos pontos $ A $ e $ B $ são $ A(1,2) $ e $ B(4,3) $. O ponto médio $ M $ é dado por: -
Calcular o coeficiente angular de $ AB $:
-
Encontrar o coeficiente angular da mediatriz $ r $:
A mediatriz é perpendicular a $ AB $, então seu coeficiente angular $ m_r $ é o negativo do inverso de $ m_{AB} $: -
Escrever a equação da mediatriz $ r $:
Utilizando o ponto médio $ M $ e o coeficiente angular $ m_r $:Simplificando:Então, a equação da mediatriz é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância $ d $ entre a mediatriz $ r $ e a origem $ (0,0) $. Para isso, usamos a fórmula da distância de um ponto $ (x_0, y_0) $ a uma reta $ ax + by + c = 0 $:
Substituindo os valores:
Passo 4
Precisamos encontrar as equações das retas $ r_1 $ e $ r_2 $ que são ortogonais à mediatriz $ r $ e estão a uma distância $ d = \sqrt{10} $ da origem.
-
Encontrar o coeficiente angular das retas ortogonais:
Se a mediatriz tem coeficiente angular $ m_r = -3 $, as retas ortogonais terão coeficiente angular $ m = \frac{1}{3} $ (negativo inverso). -
Usar a fórmula da distância para encontrar as equações das retas:
A equação geral de uma reta com coeficiente angular $ \frac{1}{3} $ é:Colocando na forma geral:Usando a fórmula da distância:Resolvendo para $ |c| $:Então, $ c = \frac{10}{3} $ ou $ c = -\frac{10}{3} $. -
Escrever as equações das retas $ r_1 $ e $ r_2 $:e
Resposta
A distância $ d $ entre a mediatriz $ r $ e a origem é $ \sqrt{10} $. As equações das retas ortogonais $ r_1 $ e $ r_2 $ que estão a essa mesma distância da origem são:
e