Seja r a mediatriz do segmento AB, onde A=(1,2) e B=(4,3). Calcular a distância d entre r e a origem. Achar equações cartesianas para as retas r1 e r2 que são ortogonais a r e estão à mesma distância d da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a distância entre a mediatriz do segmento $ AB $ e a origem, além de encontrar as equações de duas retas que são ortogonais à mediatriz e estão na mesma distância da origem. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como mediatriz de um segmento, equação de retas, e fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a mediatriz do segmento $ AB $. A mediatriz é a reta que corta o segmento ao meio e é perpendicular a ele.
  1. Encontrar o ponto médio de $ AB $:
    As coordenadas dos pontos $ A $ e $ B $ são $ A(1,2) $ e $ B(4,3) $. O ponto médio $ M $ é dado por:
    AB
  2. Calcular o coeficiente angular de $ AB $:
    AB
  3. Encontrar o coeficiente angular da mediatriz $ r $:
    A mediatriz é perpendicular a $ AB $, então seu coeficiente angular $ m_r $ é o negativo do inverso de $ m_{AB} $:
    A
  4. Escrever a equação da mediatriz $ r $:
    Utilizando o ponto médio $ M $ e o coeficiente angular $ m_r $:
    B
    Simplificando:
    A(1,2)
    Então, a equação da mediatriz é:
    B(4,3)

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância $ d $ entre a mediatriz $ r $ e a origem $ (0,0) $. Para isso, usamos a fórmula da distância de um ponto $ (x_0, y_0) $ a uma reta $ ax + by + c = 0 $:
d
Substituindo os valores:
r

Passo 4

Precisamos encontrar as equações das retas $ r_1 $ e $ r_2 $ que são ortogonais à mediatriz $ r $ e estão a uma distância $ d = \sqrt{10} $ da origem.
  1. Encontrar o coeficiente angular das retas ortogonais:
    Se a mediatriz tem coeficiente angular $ m_r = -3 $, as retas ortogonais terão coeficiente angular $ m = \frac{1}{3} $ (negativo inverso).
  2. Usar a fórmula da distância para encontrar as equações das retas:
    A equação geral de uma reta com coeficiente angular $ \frac{1}{3} $ é:
    r1
    Colocando na forma geral:
    r2
    Usando a fórmula da distância:
    r
    Resolvendo para $ |c| $:
    d = raiz10
    Então, $ c = \frac{10}{3} $ ou $ c = -\frac{10}{3} $.
  3. Escrever as equações das retas $ r_1 $ e $ r_2 $:
    mr = -3
    e
    m = 13

Resposta

A distância $ d $ entre a mediatriz $ r $ e a origem é $ \sqrt{10} $. As equações das retas ortogonais $ r_1 $ e $ r_2 $ que estão a essa mesma distância da origem são:
d
e
r

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